GB. OP = OG

Chaque sécante est dite divisée harmoniquement , ét les quatre lignes AO , AG , AB , AP, forment un faisceau harmonique.

119. Divisant tous les termes de l’équation (F) para, on obtient

et, désignant par t la tangente de l’angle AOB, ' ■ :

î |^(à — J — — b)1-\-tab = 0.

Faisant dans'cette dernière équation a= e» , ee qni exprime que les droites données se rencontrent à l’inGni , c’est-à-dire qu’elles sont parallèles , on trouve

d’où l’on voit que ,

Si les droites sont parallèles (Bg. 66) , le lieu géométrique deS; points 1 est une droite parallèle aux droites données.

D’ailleurs les sécantes transversales sont , comme dans le cas général , divisées harmoniquement : en effet , si l'on fait p = 0 , on trouvé

d’où ■ ’ a|. = (« — i) 5. , GB . OP = OG . BP.

Ce résultat peut , au reste, se déduire comme conséquence du problème général.

tao. Dans l’équation (F') (118) , si l’on divise tous les termes par « , on trouve

(p- h) [aa-A + l)] (Ç a) (sa - = 0 ; et , faisant « =: os ,

d’où l’on conclut que ,

Si l’on mène à deux droites données OA , AB (6g. 67 ) , des transversales parallèles OB , LM , les points de rencontre I des sécantes réciproques BL, OM , seront tous situés sur une droite qui passe par le point de concours des deux droites données. ^

De plus , l’équation (ï^ mise sous la forme

if—h=j — -Çi — a),

prouve que cette droite des points I divise toutes les transversales parallèles en deux parties égales.

Ce qui est d’ailleurs encore une conséquence du résultat général *