OP =3 OO

BP OO et GB OG :

Donc ,

Si l’on mène des transversales parallèles à un côté du triangle, les points d’intersection des sécantes réciproques seront tous sur la droite qui joint l’angle opposé au milieu du côté (fig. 68).

Si l’on mène des transversales parallèles aux côtés parallèles d’un trapèze , le lieu des points de rencontre des sécantes réciproques est une droite qui passe par tes ipilieux des deux côtés parallèles , et par le point de concours des côtés qui ne le sont pas.

121. Si les deux droites données sont parallèles (fig. 70) , le lieu géométrique des points I sera une parallèle à égale distance des parallèles données.

Si donc on mène des transversales parallèles aux côtés d’un parallélogramme , les lieux géométriques des points de rencontre des sécantes réciproques seront les deux droites qui joignent les milieux des côtés parallèles, et les deux diagonales seront chacune è chacune les lieux géométriques des ' points de rencontre des sécantes réciproques par rapport aux transversales qui leur sont parallèles (6g. 71).

PROBLÈME. ,r

122. Par deux points donnés mener & une droite donnée de position deux obliques qui soient également inclinées sur elle-

A (a , A) et B (a', h') étant les points donnés (fig. 72), les équations des deux obliquese seront ,

y. — i = A(ar.— o) , (1)

y,~b’~ A' (ar. — a') . (2)

Si l’on prend la ligne donnée MN pour axe des x , on exprimera que ces deux obliques se rencontrent sur cet axe en posant

de plus , d’après l’énoncé , APM = BPN ou A' = — A : les équations (1) et (2) deviendront par conséquent — b = A. (x —a ) ,

— A' = — A (sf — fl') ;

et ajoutant , il vient

l’oblique AP passe donc par le point ( a', [ — A*] ) symétrique du point B.

De là cette construction : du point B abaissez la perpeiidicït laire sur la ligne MN , et prolongez d’une quantité égale à ellemémej joignez AB' : les obliques AP, BP, satisfont à la qaestion.

On voit qu’on aurait pu faire la même construction pour le point A. ,

On reconnaîtra de plus que ce point P est tel , que AP PB est le Chemin le plus court pour aller de A en B , en passant par qn point de 1a ligne MN.

■ 158. Par un point donné mener une droite qui fasse des angles égaux avec dCMi^ ideintos ftoRoén*. >

Si l’oa prend l’une des droite» OC pour axe des ar (6g. 7S) , l’ori» giaedes axes rectangulaires étant à leur point d’intersection, l’équation de la seconde droite sera ‘ y, — Ax.,

et celle de la transversale cherchée , passant par le point A (a, 4) , ^ y, — i = A' (a?. — A),

Or , d’après la formule connue ,

tang OMP = ^ - ^

et comme tang APO := — A' ,

on aura , d’après l’énoncé ,

tang OMP =î tang APO ;

équation dont le développement est identique avec l’équation (1) si l’on suppose

tang 2A = A et tang k =: A*.

De là celle construction : Divisez l’angle des deuk droites et son snpplénewl M deux parties égales, et parle potàt donné menez deux droites parallèles aux bissectrices.