AN.AM = BA.AE
et AN : BA ; : AE : AM :
les deux triangles BAN et AME sont donc semblables , et Tangle
NBA = AME.
Donc , prolongez BA de AE = ^ , et sur AE décrivez un segment capable de l’angle des droites.
Sixième solution. EnOn , on pourrait encore , après avoir joint EE' , décrire sur EE' un segment capable de l’angle AOX : car l’angle EME'=AOX.
147. Au reste , l’analyse indique la cinquième solution. En effet, si l’on cherche le segment décrit sur AE capable d’un angle donné V , c’est-à-dire si l’on cherche le lieu géométrique des points V tels, que , joignant chacun de ces points avec A et E , les angles ainsi formés soient égaux entre eux et à V , on aura , d’après la formule connue ,
K ét K' étant les tangentes des angles que les droites AV et £V font avec l’axe des x.
Or les coordonnées des points A et E sont A (a, 6),
et par conséqueot droites AV et EV auront pour équation AV P — i = K (a — a) ,
EV P — A = K'[(«-c)- /].
En faisant , pour abréger, = / ,
d’où
K = tzl et K’=
Substituant à K et K' leurs valeurs dans la formule précédente, il viendra
— a ' (a — o) — / Réduisant et ordonnant , on trouvera
(P - A)^ + (a - ay - /(a- a) + ^(p A) = 0.
Telle est l’équation du cercle , lieu géométrique cherché. Si l’on fait p= 0 , pour avoir les points où ce cercle est rencontré par l’axe de s X , on aura
(a— o)2 f(a — o) + A2 — :|:Ar= 0 ; mais l’équation (1) (146) doni^
équation qui devient identique ù la précédente , si V = A : donc , etc.
148. Par un point donné mener une sécante qui soit divisée dans un rapport donné par la circonférence d’un cercle donné.
Si l’on prend pour axe des x la droite qui joint le point donné A au centre du cercle donné O ( fig. 97 ) , l’équation du cercle en coordonnées rectangles, l’origine étant au point donné , sera
d étant la distance du centre au point donné.
Substituant à x et à y leurs valeurs X = r cos V, y = r sin V,
pour passer à on système de coordonnées polaire, l’équation (1) deviendra , toute réduction faite ,
— 2cf cos Vr-|- = 0. (2)
Or, d’après la propriété des équations,
r.. r.= cP R2.
et d’après l’énoncé du problème ,
multipliant ces équations membre à membre , on trouvera
d’où
Si le point donné est extérieur au cercle d^, — R* est le carré de la tangente ; s’il est extérieur, R *' — <P est le carré de la demi-corde perpendiculaire à la ligne qui joint le point donné au centre , et passant par le point donné.
Donc , chexcliez le côté d’un carré qui soit au carré de la tangente ou au carré de la demi-corde dans le rapport donné ; et, du point donné , comme centre , avec ce côté pour rayon , décrivez un cercle qui coupera le cercle donné en deux points , par où passeront les sécantes demandées. «
Deuxième solution. L’équation (F)
à cause de — R^ = AB . AC (lig. 97) , et R^ — =
(R -}- d) (R — d) = AB . AC (fig. 98y , donne
r.2 = -AB . ACi w
AM
et, si l’on fait — AB = AD , r.2 = AD . AC.
ÂO Tit
Donc, cherchez sur ABC un point D tel que , et la moyenne '
' proportionnelle entre AD et AC sera la valeur de r, j le reste de la construction comme précédemment.
140. Par un point donné , mener une sécante telle , que le rectaugle de la partie extérieure et de la partie comprise dans un cercle donné soit égal à une surface donnée.
D’après le numéro précédent ^
r, . r. = rf* — R. = /S j si le point est extérieur ,
I étant la partie comprise , et la surface donnée , on aura
ou ’ -j- r, / =
Or, d’après l’énoncé , = '
donc — — m*.
De là cette construction (fig. 99) :
Décrivez sur la tangente AT une demi-circonférence , et portez
TI = m ; alors , avec le rayon
