AI

du point A comme centre décrivez un arc de cercle , qui coupera le cercle donné aux points M et M' : les sécantes cherchées seront AMi\ , AM'N'.

Deuxieme solution. On aurait encore

r.2=AB . AC - m^rrAC ^AB —

Prenez AD tel , que AD . AC = AP=: et cherchez une moyenne

proportionnelle AI' entre AC et BD ; achevez la construction comtne ci-dessus.

II est facile de voir comment la solution se modifie si le point donné est intérieur au cercle.

IBO. Par l’extrémité du diamètre d’un cercle donné, perpendiculaire à une droite donnée, mener une sécante telle , que la partie comprise entre la droite et la circonférence soit d’une longueur donnée.

Si l'on prend pour axe fixe le diamètre AB perpendiculaire à la doiteMN (fig. 100), le point fixe étant en A, l’équation du cercle en coordonnées polaires s’obtiendra facilement en faisant = R dans l’équation (1)(168) , et sera

— 2Rr C08 r r= 0 ; (1)

et celle de la droite dbnnée MN

r* cos v' — a,

a ~ AP.

Or , d’après l'énoncé de la question , les deux rayons vecteurs suivant la même direction , on aura v' — v,

et d’ailleurs r'—r=:l,

longueur donnée, si la droite donnée est extérieure au eercle. Les équations du problème seront donc

— 2Rr cos r =z 0 ,

(r -1- i ) cos V — 0 = 0.

ËlTaçant le facteur commun r dans la première, et substituant, dans l’équation simplifiée , la valeur de cos. v tirée de la seconde , on trouvera

d’où, r (r-f- 0= 2R . O.

Les racines de cette équation se construisent très facilement, ainsi qu’il suit :

Chercher une moyenne proportionnelle AI entre AP et AB ; porter AI de A en H ; élever, au point H, HH’ = /; sur HH' décrire une circonférence et joindre AC : AS sera égal à r. Donc , du point A , avec un rayon égal à AS , décrire un cercle , qui coupera généralement le cerclé donné O en deux points M', N' , et les sécantes demandées seront AM'M , AN'N.

On discutera facilement les cas particuliers de la question , et l’on ne pourra assigner à i de plus petite valeur que BP. Il évident qu’on ne doit tenir aucun compte des valeurs négatives de r.

Si la droite donnée était sécante au cercle , on aurait r — r' — I ,

et la valeur de r serait donnée par l’équation r (r — /) = 2R . «.

(Fig» 100 bis.) On prendra

AH = AI = ^’^APTaB = |/(2R77) ;

après avoir décrit un cercle sur HH'=f, enjoindra AC, et AS' sera la valeur de r.

181. D’après cela il sera facile de résoudre les problèmes suivants :

Construire un triangle , connaissant la base , l’angle du sommet et la - ligne qui divise l’angle en deux parties égales (fig. 100 bis).

Sur LI , base donnée , on décrira un segment capable de l’angle du sommet donné. Par l’extrémité A du diamètre AB , perpendiculaire à la corde LI , milieu de l’arc supplémentaire , on mènera la sécante AMM' telle , que MM' soit égal à la ligne qui divise l’angle du sommet en deux parties égales , et le triangle LM'I sera le triangle cherché

182 . Par un point donné sur la ligue qui divise en deux parties égales l’angle de deux droites données , mener une sécante telle , que la partie

comprise entre les deux droites soit d’une longueur donnée (fig. 101 ter). • « *

Sur une longueur MN égale à la longueur donnée décrire un segment capable de l’angle des deux droites données BOC. Par le point I du diamètre perpendiculaire à MN mener la sécante IA, O telle , que A,0, = AO , distance donnée ; achever les triangles MO.N, MO,N, qu’on portera dans l’angle BOC : les deux sécantes demandées seront MAN, M'AN'.

185. Au reste, la solution précédente ne répondant qu’à un cas particulier , voici comment on pourrait résoudre analytiquement le problème en embrassant tous les cas (fi^ 102).

La ligne AO qui divise l’angle des droites en deux parties égales étant prise pour axe des x , soient cl = AO, et A = la tangente de la moitié de l’angle des droites.

y = — A (ar — </) , y'= A {x' — d),

seront les équations des droites CON , BOM, l’origine des coordonnées rectangulaires étant au point A.

Passant aux coordonnées polaires , sans changer l’origine , par la substitution des valeurs

y =r sin » , a? = r cos » , et y' r= r' sin v', x’ = r' cos »' , les équations des lignes deviendront' i - )-' .• . l 't-

CON r sin w = — A (r cos v — d) ,

BOM » r' sin »' = A (r" cos v' — d).

C«ia posé , les deux rayons vecteurs devant se confondre en ane seule et même droite CAB , on aura

angle OAC — v, angle OAB = »' = 200° -j- » , et par conséquent sin »' = sin (200° -J~ = — sin ® ,

cos »' zz: cos (200° -f- ») = — cos®.

La deuxième équation se cbauge donc en

— r* sin ® = — A (r* cos v -f-d).

Si donc l représente la longueur de la partie comprise , on aura les trois équations

rsin » -[- Ar cos w — A<fz=0, (1)

r* sin » — Ar'cos® — Âç{z=0, (2)

au moyen desquelles on pourra déterminer r, r* , et l’angle v par l’une de ses lignes trigonométriques. •

Pour arriver à une équation finale qui ne contienne plus qu’une inconnue le mode d’élimination n’est pas indifférent.

. Retranchant et ajoutant successivement les éqaations (1) et (2), le système des équations (1) , (2 ) , (3) , sera ramené au système des équations suivantes :

(r* — r) sin v — (r* -j- r) A cos ® z= 0 , (A)

(r* -j- T) sin V — (r* — r) A cos v — 2Ad tzz 0 , (B)

dont les deux premières, en vertu de l’équation (C), deviennent

(r* — r) sin » — kl cos ® zz: 0 , . < ;t:J >

/sin® — (r* — r)Acos» — 2Ac/z=0.

La première de ces deux équations donne - i lang ® =z:-jAL

d*oîi

cos »zr-

substituant cette valeur dans la seconde , noise sons la ibraie ... ^ ^ „

/tangv — A(r' — r; = 0, ,,

" . . y ' ...cos » ’ (

on trouvera kP

2Arf

d’où , en faisant disparaître les dénominateurs , isolant le radical et élevant ensuite au carré ,

équation du quatrième degré résoluble à la manière de celles du second. On trouve en effet , toute réduction faite ,

Mais on a , ' , '

r' -j- r = / , d ou ~r—l — 2r.

Égalant cesdeux valeurs, on obtient

/ 2r = ± + 2rf (d it Kf-' [1 H-

ét enfin ,

expression qui donne en apparence quatre valeurs pour r ; mais r, longueur absolue, devant être essentiellement positive, et plus petite que l , la seule combinaison de signes admissible^ sera

r = i I f K iP - 2ei (Kf' [1 4- A^]”+ d^-d)^ , expression qu’on peut écrire ainsi qu’il suit :

P -?2rfr y' I ^ ^ ‘

Obnstrùction : Prenez OL = / , ^ élevez LP perpendiculaire àOL, • - U- v