KO
Le point K étant déterminé , comme on l’a vu ci-dessus, ainsi que KO, par le pointCon mènera CD parallèle à IA et DO = d. En effet , DO I OA ; OC ; OK , et DO = ^ : portant donc OD en OD', les sécantes demandées seront D'E' et DE.
187 . Étant données deux circonférences qui se coupent, mener par un de leurs deux points d’intersection une sécante telle, que
1. La somme des cordes interceptées par les circonférences soit d’une
'”2»*Que la différence des cordes soit d’une longueur donnée ;
3» Que les cordes soient dans un rapport donné.
L’oritnne des axes rectangulaires étant placée au centre de 1 un des cercles , et l’axe des ar passant par le centre du second , si l’on exprime par d la distance des centres, les équauons des circonférence données seront
Soient C 4 et p les coordonnées du point d’intersecüon , on aura, pour les déterminer , les relations
(a - rfy ^
rela oosé, on a trouvé (49) pour expression de la wrde intercepte par un cercle situé d’une manière quelconque dans un plan, sur une sécante menée par le point C^p) , la valeur
c ±rÿ=4=n - «) - (P
Si dans cette formule on fait successivement c = 0, i = 0,R=r, et fl = rf , * = 0 , R = n les expressions
c =— 4-Â=*) — (Aa— py> .
X 1p« longueurs des cordes interceptées par les cir-
St“ “““
“"ÂcâiS' to équalioD, (1) ei w, de voir que ceu
formules deviennent
e. e-«. sur ces nouvelles valeurs qu’on toUlra les hypolhèse. du problème.
1» Soit donc 2S la somme des cordes données ou "■ C -|- C’ — ,2S.
Toutes les combinaisons possibles des signes seront exprimées dans la formule
Il est nécessaire d’avoir égard aux différentes combinaisons des signes pour ne pas omettre quelques unes des solutions ; on sait , d’ailleurs , que la différence de direction de deux longueurs s’exprime par la différence des signes de leur valeur algébrique. Au surplus , on peut ne tenir aucun compte du premier double signe > puisqu’on doit élever les deux membres au carré pour dégager A, l’inconnue du problème. '
' Ob aura donc à examiner séparément les deux équations
; [Ap -j- a -|- (Ap -f- [a — ] )f] y
Kl + A^
^[Ap-|-«(Aj3+[«-cf])],
Kl + A^
dont la première correspond au cas où les cordes sont du même côté du point par où la sécante est menée, et la seconde à celui où elles sont de différent côté.
L’équation (3) développée et ordonnée par rapport à A devicn * (S2 — Ùp2) A2 — A|3 (2a — <0 A -f S2 - (2« — = 0 ,
d’où A 2 . ùp.(rf— 2«) . (rf— 2«y — S^
Au lieu de résoudre cette équation , qui donnerait lés tangentes des angles que les sécantes demandées doivent faire avec l’axe des X pour satisfaire à la question , on peut trouver une construction facile en la comparant avec l’équation (B), du n» 46
Ces deux équations deviennent identiques si R == S , « = 2p ,,
Or, a et ^ dans l’équation (B) sont les coordonnées du point par lequel on doit mener les tangentes au cercle R dont le centre est à l’origine. De là cette construction (fig. 106) :
Portez, en OR'. OR' = 20Q — 2AP =: 2,3 , et élevez la perpendi-
culaire R'I; prenez ■??’ = OP , et élevez la perpendicnlaire P'C' = P'C = d — 2a ; menez C'I parallèle à OC. La rencontre de eelte droite avec R'I déterminera le point I , dont les coordonnées sont y = {d~ 2a).
Décrivez du centre O , avec un rayon OS = S , demi-somme donnée, un cercle auquel, par le point I , vous mènerez les tangentes IT, IT'. Les lignes ANM, AM’N' , menées par le point é, parallèlement aux tangentes , seront les sécantes demandées.
Le minimum de la valeur de S est S = 2]S = AB.
On peut encore adopter la construction suivante ;
Décrivez le cercle symétrique au second cercle donnépar rapport au point de section : car le nouveau centre a pour coordonnéées a' = <i — 2a, P' — 2|3 , et achevez la construction comme à l’article suivant, relatif à la construction de l’équation (A).
Quant à l’équation (A) , elle donne , toute réductitJn faite , ^
'S2(l-fA2)=rf2 ,
S = rf cos X.
S est donc l'un des côtés de l’angle droit d’un triangle rectangle dont d est l’hypothénuse.
Donc (fig. 106) , sur OC = rf , comme’ diamètre , décrivez une circonférence ; portez OS et OS' = S , et par le point A , menez les sécantes NAÀI , IVJ'AN' parallèles à OS et OS'.
La valeur maximum de S est S = cl ; les deux sécantes se confondent en une seule , parallèle à la ligne des centres , ou perpendiculaire à la corde d’intersection.
2“ La différence des cordes égale à une longueur donnée 2D. Les équations de condition se réduiront comme précédemment aux deux équations véritablement différentes
D = p^^^ [Ap-}-a -f (A^-f [a - d])] ,
et les,constructions sont en tout les mêmes que les précédentes , après avoir remplacé S par D.
3“ Le rapp ort des cordes égal à un rapport donné ^
C'~fT’
en substituant à C et C' leur valeurs , on obtiendra
~ (A^ -J- a) — rf n ’ qu’on peut mettre sous la forme
(Ap 4 “) ~ ^ — ** ’
d'où
et
Ap ^
d mq: n
Cette expression se construit très facilement si l’on observe que la droite passant par le point d’intersection des deux circonférences dont les coordonnées sont a et p, et le point de la ligne des centres tel , que le rapport de ses distances aux deux centres
soit égal à — , a pour équation
wi J \. mzp n J J
ru a
Les sécantes demandées sont perpendiculaires aux lignes repré- sentées par l’équation M.
Donc , prenez sur la ligne des centres les quatre points tels, que le rapport de leurs distances respectives à chacun des centres soit
égala— ; joignez ces quatre points avec le point de section des
circonférences , et par ce même point menez quatre droites perpendiculaires aux quatre droites de jonction.
Ces quatre solutions se réduisent à deux , si l’on particularise le
C C' rapport ^ou
138. Étant données deux circonférences situées d’une manière quelconque l’une par rapport à l’autre, mener, par un point donné de la ligne qui joint les centres, une sécante telle, que la partie comprise entre les deux circonférences soi^’une longueur donnée , le point donné étant tel, que' le rapportée ses distances aux deux centres soit égal au rapport des rayons.
Soient l’origine des coordonnées polaires située au point donné ,
d la distance de ce point au centre dn cercle R, d la distance de ce point au centre dn cercle R' , la ligne des centres étant prise pour axe fixe , les équations des cercles seront
— idr cos » — R^ = 0 ,
— 2dV cos »' + d« — R'2 = 0.
Si le point donné esttel, que les deux rayons vecteurs se trouvent du même côté , par exemple si le point donné est le centre de similitude extérieur des deux cercles , on aura v' = v, et de plus , r* — r = m, longueur donnée.
Les trois équations du problème seront donc
— 2dr cos P -f" — R^ = 0 , (1)
— 2(fr' cos » — R'^ = 0 , (2)
d, 'd' , R , R' , étant d’ailleurs liées entre elles par la relation
Si l’on susbtitue dans l’équation (2) les valeurs de cos v tirée de l’équation (1) , et celle de r* de l’équation (3) , on trouve
développant et ordonnant, après avoir sabstitné à ^ sa valeur
on obtient successivement
(R R<)r34- [m(2R— R')]r2-4- (m^R- [R'(rf2 R2)— R(</)2 R'2] ) r — mR'(d^ — R^) = 0 ,
. , rf R .
mais de ÿ = g; on tire
l = B- (i'=-R'=)=|rV-B‘)>
et par conséquent JR'
de plas , le dernier terme
D’après ces rédactions, l’ëqnation précédente devient
rH-l
Cette équation se décompose en deux facteurs ,
et par conséquent le problème est' résolu par les deux systèmes d’équations
— 2«fr cos© -j- — R* = 0 ,
-wi— 0 ;
— 2rfr cos ©-j-rf2 — R2— o ,
Le système (A) se compose de l’équation du cercle R, et.de l’équation d’un autre cercle dont le centre est au point donné , et le rayon une quatrième proportionnelle à R' — R, R et m. L’intersection des deux cercles déterminera les sécantes demandées.
Le système (B) se compose de l’équation du même cercle R , et ^ de deux autres cercles dont l’origine est au point fixe , et les rayons les deux côtés du triangle , dont la différence des côtés est m , et
la surface g-' (cP — R2).
Les données étant les mêmes, mener par le point oii l’une des circonférences est coupée par la ligne des centres une sécante telle , que la partie comprise entre les deux circonférences soit d’une longueur donnée.
Tout étant comme au numéro précédent , on voit facilement qu’il suffit de poser , dans l’équation (M), <2 = R, et cette équation devient
(©-j-jw)* — R’^ = 0,
d’où • t^{d' — R)-J-m(rf' — 2R)r — R^rf'* — R'^=0, ’
et j^(rf'^-R«) = 0;
équation de deux cercles dont les rayons sont les côtés du rectangles dont la différence des cotés est ^ , et la sur-
face^p- (rf'^ — R'^) , le centre de ces cercles étant au point fixe.
La combinaison de ces cercles et du cercle R achèvera de déterminer les sécantes du problème.
Nous laissons au lecteur le soin de construire , pour chaque cas particulier , ces valeurs, qui , comme celles du numéro précédent , dépendent trop de la grandeur des données pour comporter une construction générale.
De plus , on examinera le cas où les rayons vecteurs ne sont pas du même côté, et l’on aura ainsi résolu le problème : par un point donné mener une sécante à deux circonférences telle , que la somme ou la différence des segments intercèplés sur elle par les circonférences données soit égale à une longueur donnée, le point donné étant dans une position particulière, comme on vient de le voir (158), (159).
Le problème, dans le cas le plus général, conduit à des équations fort compliquées, et généralement d’un degré au-dessus du second.
160. Trouver sur la circonférence d’un cercle donné un point tel ,
1» Que la somme de ses distances h deux autres points donnés sur eette circonférence suit égale à une longueur donnée ;
2» Que la différence des distances soit d’une longueur donnée ;
3» Que la somme des carrés des distances soit égale à une surface donnée ;
4’ Que la différence des carrés des distances soit égale à une surface donnée ;
5° Que le* rectangle des distances soit égal à un carré donné -,
6» Que le rapport des distances soit égal à un rapport donné.
1® Soit l’origine des axes rectangulaires au centre du cercle donné , et l’axe des x parallèle à la corde qui joint les points donnés, dont les coordonncsc seront (o. A) et-( — a. A). Si donc x et y représentent les coordonnées du point cherché , l’équation du problème sera ,
longueur donnée, (A)
X, ÿ , a et hj devant de plus satisfaire âax équations
Développant l'équation (A) , après avoir fait passer le second radical dans le second membre et élevé au carré , ou obtiendra , toute réduction faite,
élevant une seconde fois les deux membres au carré, r» [(x-f-a)2-l- (ÿ— é)2] ==»* + 2a*2x-f oV.
A cause des équations (B) , on a
-{-fy — A)2 r= 2r* 2ox — 2iy ; susbtiluant et réduisant , on obtiendra
oV -J- 2A«2y j j4 — 2r^«2 c= 0 .
Enfin , remplaçant oV par sa valeur — «y , on aura pour équation finale en y
ay — 2ér>y=: ** — -f- oV ;
d’où , ù cause de -j- ,
bi^ dtr{»^ — aF)
et enfin y — b:=(b ± r) — ^ .
Cette expression prend encore une forme plus simple si l’on remplace par sa valeur — IF , car on trouvera
y-i=z(i±r)^-p et enfin y —
orpr
Les points cherchés se trouvent donc sur deux droites parallèles à la corde qui joint les points donnés , cl dont les équations sont
les points d’intersection de la circonférence et des parallèles seront les points cherchés.
Pour construire les équations (1) et (2), A et B (6g. 107) étant les points donnés, sur PRI et PN, comme diamètres, décrivez deux , cercles ; du point A, portez AI = «, demi-somme donnée ; du point P, comme centre, et d’un rayon PI, décrivez un arc de cercle , qui coupera ces cercles PM et PN en K et K' , et par ces points menez UHKV , U'H'K'V' , parallèles à AB , qui représentent les équations (1) et (2) ; les points demandés seront U, V, Ü', V’.
En effet ,
Pï^ = PR2 = PK'2= Âî^ — ÂP2 = «2 a2 ^
PR2=PM.PH=(r-A)PH etPH=i^^,
PK'2=PN.PH'=(r-|-i)PH' et PH'=^q^^.
2« La différence des distances égales à une longueur donnée Zd. " L’éqaation
développée comme la précédente, conduit au,méme résultat ; seulement « est remplacée par d : donc /
bz^r
et comme d est nécessairement plus petit que a , les équations des parallèles seront
^ De là cette construction :
Sur AP, PM et PN (6g. 108))j décrivez trois circonférences; prenez AD = ; du point P comme centre , avec PD pour rayon , décrivez un arc de cercle, qui coupe les cercles PM, PN, aux points G' , G. De ces points abaissez les perpendiculaires G'P , GI , et portez PI en PH , PP en PH'. Les équations précédentes seront représentées par lesdroites UHV, U'H'V', parallèles à AB, et les points cherchés seront ü, V, U', V.
3» La somme des carrés des distances égale à un carré donné 4K2.
L’équation du problème
(x — a'/ 4- (y — i)2 -f. (a? + a)2 -j- (y — A)2 = Uk^
• devient, toute réduction faite, au moyen des équations (B)
4r2 — 4iy=ft*2,
Si k<C.r, sur OC et OP (fig. 109) décrivez deux cercles; portez CD = A, et du point O comme centre, et d’un rayon = OD , décrivez un arc de cercle , qui coupe le cercle OP en I : la parallèle UIV déterminera les points cherchés U et V.
Si A ^ r , la valeur de y devient négative , et se construit ainsi : du point N on portera NG = A ; on joindra PG , et du point G on mènera GP perpendiculaire à PG : la parallèle U'I^V' donnera les points cherchés U' et V'.
4» La différence des carrés des distances égale à un carré donné UP.
L’équation
[(* — fl)2 -f - (y — i ) 2] — [(a: a)2 -f (y — i)2] = dz 4 ^2
donne • — Uax = UP
donc, sur AP (fig. 110) , comme diamètre, décrivez une circonférence ; portez PD = ^ , et abaissez- DVIV' perpendiculaire à À B. Les deux points V et V' étant déjà déterminés, les parallèles VU, V', U' feront connaître les deux autres.
5° Le rectangle des distances égal à une surface donnée.
A cause des équations (B) , l’équation du problème
— a)2 -|-(y — b)^ t^(a? -j- o)^ -j- (y — surface donnée devient 1 ^ 2 — Ay — oa?) 2(r^ — j6y-|-aa!) = surf; d’où 4 (r* — 2r2 Ay -j- A^y^ — o^ar*) t= (surf)2.
Remplaçant <Px^ par sa valeur
il vient 4r2(y — A)^ — (surf)^. ,
Faisant surf, donnée z=.'irp, cette équation deviendra y — A = ±/>.
Donc, par le point A (fig. 111) , menez le diamètre AOG ; portez AD = le côté du carré équivalent à la surfacp donnée , et abaissez DH perpendiculaire à : AOG AH sera égal à p. Portez AH en PI et ' PI', et les parallèles ÜIV, U'I'V' détermineront les points cherchés.
6« Le rapport des distances égal à un rapport donné ^ L’équation de condition
— aŸ {y — bf devient , à cause des équations (B) ^
ax — by m,y
y 7^ — ax — by »
Élevant au carré et réduisant, on obtient
L’intersection de cette droite et du cercle donné
y‘- '=zr^
déterminera les point eherchés.
Or, cette droite peut se cpnstruire de plusieurs manières: si l’on fait dans son équation (C) a: = 0 , on trouve
C’est l’ordonnée du point où la tangente au point A (fig. lia) rencontre l’axe des y. Cette valeur, étant indépendante du rapport donné, fait voir que toutes les droites semblables à (C) passent par le même point F.
Pour avoir un second ,^3oint de cette droite, on pourra faire y~b, ce qui donne , toute rédution faite ,
— nr
pour abscisse du point D où la droite (C) coupe la corde AB. On fixera la position de ce point en observant que
BD =a+ a = 2a
AD=o-'a^t^! = 2a
in? -j- n* m*
d’où
d’où résulte cette première construction :
Divisez la corde BA au point D en deux parties qui soient entre
elles dans le rapport des carrés des lignes qui forment le rapport donné ; menez par' le point A ou B la tangente BF , qui rencontre au point F la droite OPF perpendiculaire au milieu de la corde ; et enfin joignez les points F etD par la droite FMDM', qui déterminera par son intersection avec le cercle donné les points cherchés MetM'.
Deuxième tolulion. L’équation (^C) peut être considérée comme la droite des points de contact des tangentes menées au cercle
par le point dont les coordonnées sont
