UP
sin k ’
d’où , à cause de sin A = 2 sin - iA cos i A,
kP
1 1 ùtang-A tang-A
et de plus xz=y.
Le triangle maximum est donc encore le triangle isocèle.
21. Étant donnés deux côtés , et la ligne qui divise l’angle compris en deux parties égales , construire ce triangle.
Si a, b et l, représentent les deux côtés et la ligne donnée, et xeiy les deux segments formés sur la base par la ligne qui divise l’angle du sommet en deux parties égales , on aura (Legendre 3* livre, prop.xxxi) les deux relations
- = ^ et xyzzTab — P.
Connaissant le rapport et le rectangle de deux lignes , on déterminera sans peine l’une et l’autre de ces lignes, et par suite leur somme, qui sera la base du triangle demandé : le problème sera donc ramené à construire un triangle dont on connaît les trois côtés.
22. Seconde solution. — Ce problème peut se résoudre d’une manière plus élégante en faisant entrer pour inconnue l’angle compris par les côtés donnés. En effet , les données étant les mêmes que pour la première solution , et |3 l’angle compris, on aura évidemment
' X *4- P — îa/ cos ^ p ,
y = 2W cos i ,5 i
et comme - = on obtiendra pour équation unique
— ial cos - P
P — 2i/ cos - P
On tire de là , en chassant les dénominateurs et élevant au carré ,
P (o^ — = 2oA/ (o — b) cos - P,
d’où
cos - P =
Le problème est donc ramené à construire un triangle rectangle dont on connaît un des côtés de l’angle droit l , et l’hypothénuse
-p- , que l’on construira (fig. 12) ailfci qu’il suit : on portera
âK
BC = i de B en G , et l’on cherchera un point K tel que ^ ;
BK sera l’hypothénuse demandée.
Après avoir construit le triangle rectangle KBD , on achèvera le triangle cherché.
23 . Étant donnés l’angle du sommet , la hauteur et la ligne qui joint le sommet au milieu de la base , construire le triangle.
X, ÿ et Z étant les trois côtés inconnus, z représentant la base, Zla ligne qui joint l’angle du sommet  au milieu de la base, et h la hauteur, on aura ( A étant obtus ou aigu ) les trois équatio ns
2 ^ =z -j- ±: 2xy cos A , (1)
arv sin A Az . ,
Si l’on substitue la valeur de + y^ de l’équation (3), celle de xy de l’équation (2) , dans l'équation (1-) , ou trouvera , toute réduction faite ,
z^zç.U- — î— T * = tiP. ■ - \;‘ tang A *
On tirera facilement de cette équation la valeur de ? , et le problème sera ramené à construire un triangle dont on connaît la base , l’angle du sommet et la hauteur.
24. Etant donnés un angle , l’un des côtés adjacents, et la somme ou la différence des deux autres côtés , construire le triangle.
1“ Soient A l’angle donné, a le côté' adjacent , m le sommet des cdtés inconnus x et y , on anra , pour déterminer ces côtés , les équations
y* = j ^2 — ^ax cos A , ( 2 )
y^ — x^ =1 lax cos A ,
et à cause de l’équation (1 ) , m (tA — 2a?) ?= q: 2<w cos A ,
d’où enfin x = — ^
2 (wiqiacos A)'
Il ne reste plus qu’à construire cette quatrième proportionnelle mise sous la forme
X— (»» + «)(”» — a) i a cos A)
pour résoudre le triangle.
