HR
A (a — Ç) — ^ (a — A) ’ IB . HR 1 Ap (A — lY
et par conséquent IHB = — - ^ - g) - p (a
La seconde équation de condition sera donc, toute réduction faite ,
A(« - 5;— P (O - A) 2‘ Reste à exprimer la troisième condition
Or
triangle IMG = ^ OAB.
IMG = - - - g MP=p, IG = OG — 01;
et d’après la valeur précédente de OG ,
« — ? ^ et la troisième équation de condition sera
On a donc trois équations pour déterminer les trois inconnuMs O, jS et 5, qui donnent la solution du problème; mais ces équations étant du second défère , l’élimination directe conduirait à une équation linale d’un degré généralement égal au produit des exposants , c’est-à-dire du huitième degré, et , de toute manière, intraitable par aucun moyen soit arithmétique, soit géométrique. On peut obvier à cet inconvénient en observant que les équations (1) et (3) , développées et ordonnées par rapport à (a — 5 ),
devant donner pour « 6t pour Ç , et par conséquent pour (« — ç), les mêmes valeurs , doivent être identiques. Égalant donc les coefficients des [mêmes puissances de (a — ?)> obtiendra les équations
ràaj3 — /iAl hb ^ L2a^ — ab\ ~
qui se réduisent à
— ab ° ’
de sorte (jue le système des équations (1) , (2) , (3), est ramené au système des équations
A(«-Ç) — -(a — A)~2* Les équations (A) et (B) donuent
et comme le point M doit être dans l’intérieur du triangle , les seules valeurs admissibles seront
valeurs ^ue l’on construira sans difGcultc ; et, au moyen de l’équation (C) , qui , ordonnée par rapport à ? , devient ■
on obtiendra la dernière inconnue du problème.
167. Décrire une circonférence qui coupe par le milieu trois circonférences données (6g. 1 25).
Soient , en général , les équations des trois circonférences données
(x, — fl,)’* (y, — i,)2 = r,2 ,
(arj — aj)^ -j- (ÿj — = r,2.
La corde de section déterminée par le tcrclc clierché sur chacune des circonférences devant être, d’après l’énoncé, égale au diamètre, si a , |3 et p, désignent les coordonnées du centre et le rayon du cercle cherché , on aura les trois équations de condition
(«aJ2-|-(ÿ-i.)» = p’‘-r.% . (2)
■ ■ („-a3)*-l-(p-A3)2 = P^-nS (3) ■'
qui serviront à déterminer les inconnues du problème a , §, p.
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— iis —
Retrancliaut successivement l’une de l’autre les équations (1), (2),
(3) , on trouve
— 2(i, - Ajp— 2(a,— a.)«-f<a O— (a.*4-V— 0=0 ,
— 2C A,— ij)p— 2 (a. - a.)a+(a.^+i,^— — (0+*3^~ O = 0 >
— 2(A.— i,)p— 2(a.— üj-a-Ko r.2)— raj=*+*3^— »*3^)=0 , •
équations des dishomologues des cercles donnés (57). Le centre du cercle cherché est donc à leur point de concours. Ce centre étant déterminé , il sera très facile de déterminer le rayon. En effet, on n’aura qu’à joindre le centre C avec le centre de l’une qiifelconque des circonférences données ; C,, par exemple. La corde d’intersection sur cette circonférence sera évidemment le diamètre fi.D', perpendiculaire à ÇC, , et parconséquent CD, sera le rayon du cerclé cherché.
16U. Par un point donné faire passer une circonférence qui coupe par le milieu deux circonférence» données (fig. 126). ,
Si la circonférence Cj se réduit à un point , on pourra toujours construire les dishomologues, (n“ 58), dont le point de concours sera le centre de la circonférence demandée, et la construction s’achèvera comme précédemment.
169. Enfin , si deux circonférences se réduisent à la fois en un |M)int , une construction semblable donne la solution du problème suivant :
Par deux points donnés faire passer une circonférence qui coupe par le milieu celle d’un cercle donné (Cg. 127).
170. Étant données quatre droites AP , AM , BN , CQ, situées d’une manière quelconque dans un plan , mener une transversale PMNQ tellq , que les segmt nts interceptés PM , MN , NQ , soient entre eux comme m, n et P (6g. 128).
On prendra pour axe des x l’une des droites extrômcifc CQ , et pour axe des y l'autre ligne extrême , AP , lesquels axes seront généralement obliques , l’origine des coordonnées à leur [joint d’iulersection C.
Alors si l’on désigne CD par a ,
AC par A , . * "
CE par c ,
CK par d , *
. Dit li , Cciit^ll
des quatre
droites données seront
AP
AM
BN
CQ
De plus , on voit facilement que le problème serait résolu si l’on connaissait le point I de concours des droites MI , NI , menées par les deux points M et N , par où passe la sécante cherchée PMNQ , oarallèlement aux axes. Soient donc ar = a, y = p , les coordou-
. , . . , ...I .!■ Ti :
nées inconnues du point 1.
On trouvera les coordonnées du point M en combinant les
•iî.’rr
équations ^
AM y = — <■
IM y = p,
et l’on obtiendra . ,
En combinant de même les équations - -
BN y = — c);
IN ar=a,
011 trouve pour coordonnées du point N
yj=-(c-^«t), »,= «. : . ;;;ir
L’équation de la transversale sera donc facile à exprimer en fonction des coordonnées des point M et N, et l’on aura . , , .
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