PM 7« MN
MN*~n’
et en vertu des valeurs de*PM , MN , NQ , *
jS - ^ (c — a)
D ^ * ; ..i (5y Coogl
Telles sont les équation» finales qui serviront à déterminer les coordonnées , du point I.
Mais sans avoir recours à l'éliminatioii on peut construire lei droites que ces équations représentent ; et d’abord l’équation (FJ: prend la forme
Si l’on fait a = 0 , on trouve
donc cette droite passe par le point A.
Si l’on fait ^ = 0 , on trouve .
donc, cette droite passe par un point H tel , que CD ; DH \ \ m\n-,
ce second point étant déterminé , la direction de la droite (F,) sera connue.
Quant à la seconde équation (F.), on voit d’abord qu’elle est satisfaite par a=zc: donc la droite qu’elle représente passe
par le point £.
De plus, si l’on fait dans l’équation (3) ar==a , on trouve
et si l’on représente cette ordonnée par jS' , l’équation (F.) deviendra
|3 et (3' étant deux coordonnées de deux droites différentes , mais cGfrespondant à la même abscisse, ces deux droites d’aijleurs passant par le même point £.
Il sera donc facile de construire la seconde en prenant une longueur £/ quelconque , à partir du point £ , et élevant l’ordonnée tu , qu’on prolongera d’une quantité uv telle , que uv \ tu \ \ n\ P •, puis mettant la droite Ef>l. Le point I étant déterminé , on mènera IN, IM, respectivement parallèles à AP et CQ, et la’transversale cherchée sera PMNQ.
• • 1 ’ CD m
ün remarquera que , si le point £ était tel , que jyj. = — ,
Digilizeo oy Cn
le point H se confondrait avec lui, et par conséquent les deux droites n’en feraient plus qu’une. Dans ce cas particulier, le problème aurait une infinité de»solutions , puisque tous les points I se trouveraient sur une même ligne droite , qui serait la droite de jonction des points A et £.
171 . Par deux points donnés sur la circonférence d’un cercle mener à un autre point de la circoufciencc des droites qui coupent Un diamètre donné en deux points également distants du centre.
Soit pris pour axe des x le diamètre donné , l’origine des coordonnes rectangulaires étant au centre du cercle ; alors si (a, A) ,
( a ' , A') , sont les coordonnées des points A et B (fig. 129) donnés sur la circonférence , et (a?, y) celles du point M cherché, on aura les relations
et , de plus , les équations des lignes droites AM , RM , ♦ y — h = A{x — a), i
Si l’on fait y = 0, on aura pour les distances OE, OE' , Aa — A Aa' — A'
et,
ou
d’après l’énoncé du problème , at, — 0 , Aa — A . Aa' — b'
sub stituaht dans cette équation les valeurs de A et A' équations (2), on trouvera
o-fA
tirées des
chassant les dénominateurs, et réduisant en vertu des équations (1), OH trouvera
(«-fa'Jyi-(A-fA')a-y— («A'-j-o'A)y4-2AA'a: = 0. (F)
Mais, en vertu des mêmes équations (1) , on a
fy-i]
La:-aJ
Ly+*'J
substituant dans l’équation (3) , et réduisant , il vient
ajoutant les équations (F) et (G) , on obtient , après avoir réduit ,
• 2 (a+®) {r^-\-€M'-\-bb'')x=. 0
».îi< ^
rr^-j-aa'-|-AA 1 ’ %
équation d’une ligne perpendiculaire à l’axe des x , dont les intersections avec le cercle donné donneront les points cherchés.
Si l’on fait , pour abréger,
' 7^-^aa'-\-bb' ^
la valeur de x devient
et représente une droite parallèle à la polaire du point x . K , « = 0 , à égale distance de l’origine.
Or ce point, dont l’abscisse = K , est facile à déterminer. On trouve en effet par un caclcul fort simple ^
7 ?' aa' -\-bb' ah' — a'b
et cette dernière expression représente l’abscisse du point I où la droite AB rencontre l’axe des x ; car l’équation de AB étant ^
I A' — b . V it ■■
si l’on y fait /. = 0 , on trouve . oA' — a'b
De là , par conséquent , cette construction r ‘ ‘
Prolongez la droite qui joint les points donnés jüsqn’à sa 'rencontre avec le diamètre donné ; par ce point me«ez les deux tan-
{lentes et la corde des points de contact, et de l’autre côté du centre, et à égale distance , menez une parallèle à celle corde de contact. Les points où celle droite rencontrera la circonférence seront les points cherchés.
On préférera cette construction , qui rentre au fond dans la précédente :
Après avoir mené les tangentes IT , IT' , on joindra les points de tangence avec le centre par les diamètres TOM ,‘ T'OM' , et les points cherchés seront M et M' tels , que OE = OE', , OE, = OE',.
17S. Par deux points donnés mener k un même point de la circonférence d’un cercle donné deux droites telles , que la corde de l’arc qu’elles interceptent soit parallèle à la droite qui joint ces deux points donnés.
L’origine des axes rectangulaires étant placée à l’un des points donnés , Â (iig. 130) , et la droite AB , qui joint les points donnés, prise pour axe des a?, si a et sont les coordonnées du centre O du cercle donné, et r son rayon , l’équation de ce cercle sera
(x — ay -i~(ÿ — h y — r^.
Soient a, ^ , les coordonnées du point M où la sécancte AP rencontre le cercle ; ce point étant sur la circonférence , ses coordonnées satisferont à l’équation
{^-ay + (p-by = t^. ' (ij
On a d’ailleurs, à cause du parallélisme des droites MN et AB ,
AP AB . AP AB • AP AB PM “MN ’ AP — PM “AB — MN ÂM~AB — MN ’ et, multipliant les deux termes du premier rapport par AM,
AP . AM __ AB ÂFP ~ AB - IVLN*
Or, AP . AM = A’P = fi , AM^ = -|- p* ,
donc et enfin
AB — MN r= AB — 2MG = rf — 2 (a — a) :
fi d «^ -|- d — — aj ’
équation d’un second cercle , dont les intersections avec le cercle (1) détermineroni les points M cherqtiés.
L’éqnation (1) est celle du cercle donné ; l’équation (2) prend la forme
et à cause àe f =.a? -\-h^ — ,
* ^2 le centre de ce second cercle est donc à une distance -r du
t cc
‘ point A , origine , sur la droite AB , et il a pour rayon la tangente menée de ce centre au cercle donné.
De là cette construction :
Prenez sur AB « à partir du point A , AT tel , que AB ; AT AT : AI ;
de ce point, comme centre, et d’un rayon égal à la tangente IM , décrivez un arcle de cercle, qui coupe le cercle donné en deux points M et M'. Les sécantes du point A , AMP, AP'M', détermineront les sécantes BNP, BP'N' , telles , que MN et M'N' seront parallèles à AB.
On peut se dispenser de décrire l’arc du cercle , les points M et M' étant déterminés par les tangentes IM, IM'.
Deuxième tolution. On a encore . AM BN AP~BP'
ou, multipliant les deux termes du premier rapport par AP, et ceux du second par BP ,
AM . AP BN . BP AP ~ BP^ ■
Or ‘ AM.AP = Âf*=<^ BN.BP=BÏ'2=V:
donc
t'~BP’
Le point de concours P des deux sécantes AP , BP , est donc tel , que ses distances aux points donnés sont dans le même rapport que les tangentes menées de ces points au cercle donné.
Ce lieu géométrique , comme on le verra plus bas, est un cercle qui à son centre sur la ligne qui joint le^ points donnés A et B, et pour diamètre la distance entre les deux points de la doite AB tels , que le rapport de leurs «jiaiances aux points A et B soit égal
sm rapport des tangentes ÂT et BT'. Les points communs à ce cercle et au oercle donné seront les points de concours P et P' des sécantes. * '
Si les points A et B étaient intérieurs au cercle , la première construction serait modifiée , ainsi que la seconde, eu ce que les tangentes seraient remplacées par les demi-cordes passant par ces points perpendiculairement au rayon qui les joint au centre.
Troisième solution. Enlin , il est facile de voii- que ce problème revient à faire passer par deux points A et B un cercle tangent au cercle donné O j les points de tangence deviennent les points de concours des sécantes. En effet, les points de tangdnce étant des • centres de similitude , les rayons vecteurs sont proportionnels , et les cordes des arcs interceptés , parallèles.
Au reste , ce problème n’est qu’un cas particulier du problème , général auquel donne lieu la question suivante :
i75. Par deux points donnés on mène à un même point de ta circonférence donnée deux sécautes qui la coupent chacune eu un second point : déterminer la corde de jonction de ces points.
L’origine des axes rectangulaires étant an centre du cercle donné , et (o , A) , (o', h') , (a , p) , étant les coordonnées des deux points donnés A et B (fig. 131) et du point de concours P des sécantes AMP , BMP, les équations de ces sécantes seront
AP (Y^) = ^(X-a), ■
BP (Y-j3)=^;(X~a).
En exprimant par les mêmes coordonnées courantes que ces droites ont au moins un point commun avec le cercle donné, dont l’équation est
et , de plus , le point P (« , j3) étant sur la circonférence , on aura la relation
Or, l’ensemble des droites AP , BP, peut s’exprimer, par le produit de leurs équations mises sous la forme r
lequel produit sera
-f- {p—b)(P—b')t=zQ ;
et à cause des équations (1) et (2) , qui donnent
l’équation précédente devient
Chassant les dénominateurs , on obtient
(Y p)*(a— a)Wa')-(X— a)(Y-p)[(«-a)(p-iO+(“-«'XP--*)] +(X-«)2(^-A)(i3-A')=0, . '(A)
(X+«y{«-a)(«-a')-HX+a)(Y+i3)[C«-o)(p-i’)-H«-«0(P-A)] +(Y+(3y(p-A)(p-A0=0. (B)
Ajoutant maintenant terme à terme les équations (A) et ( B) , et réduisant en vertu des équations (1) et (2) , on trouve («-a)(«-aO(r*-f«X-^Y)-|-[(«-a)(|3-i'>|-(“-«')(P-i)]'PX-faY) ip-b>) +.|5Y-«X) = 0 ,
équation du premier degré en X et Y , qui représente la droite de jonction des points M et N.
Séparant les variables , pour donner à cette équation la forme ordinaire aux équations de lignes droites ^ on obtiendra , toute réduction faite ,
[(r^ —aa'-\-bb'')p-\-{ab'-\-a'b)(i. — (A^i')r^] Y |
-|-[(r2-j-aa' - C^)
+ [(r2-|-aa'-j-AA') a a')^-(b-\-b')p]t^)
Telle est l’cquation de la drofte MN , qui sera entièrement déterminée par ses coefficients, lorsque le point de concours des sécantes , P lu, p) , est donné.
M ais si l’on particularise à priori quelque condition à laquelle celte droite doive satisfaire , le point P n’aura plus sur la circonférence que des positions déterminées par la nature même de cette condition.
'DiQiîi-iod bv
Avant d’entrer dans cette question , on pourra donner à l’équation (C) une forme plus simple en supposant l’axe des x parallèle à la droite qui joint les points donnés. Dans ce cas b' = b , et l’équation , résolue par rapport à Y , devient :
—aa'-\-bi^)P-\-b{a-\-a’)oi — ibt^ 2A^(q 4 apa - (r^-f ^
' (r^ — aa'r\-b^)[i-\-b{a-\-a')K — 2Ar*
174. 1® Si l’on veut que la cordé de jonction MN soit parallèle à la ligne des points donnés, c’est-à-dire à l’axe des or , l’équation
servira à déterminer le point de concours des sécantes sur la circonférence.
Cette équation (a) peut se mettre sous la forme
et sous cette forme elle représente la polaire d’un point de la droite AB , facile à déterminer.
En effet , du point H , on prendra H.V = HA = a (fig. 132) ; sur la demi - circonférence décrite sur BA' = a' a on portera BT = BT' , et , abaissant la perpendiculaire TI, on aura
Du point I , on mènera les tangentes IP, IP' ; la polaire sera PP', et les points de concours des sécantes cliercliée^ seront P et P' ; en effet, si l’on mène APM, BPN, et.LM'P', BN'P', les droites MN, M'N', seront parallèles à AB.
Lorsque le point B est intérieur au cercle j l’équation de la polaire , mise sous la forme
donne lieu à une construction analogue à la précédente (fig. 133).
178. 2° La corde de jonction perpendiculaire à la droite des points donnés.
Cette condition sera exprimée par l’équation
(r^ — aa'-j-P) P-j-b(fi-j-a'J« — 2br^—0, (b)
HI=nB— IB=a'
' D"j»i/ed by Goôglc'
qui devient
et représente la polaire du point dçiit les coordonnées sont , — «■'(«' — o)i
nr» — •
176. 3® La corde de jonction passant par le centre du cercle donné.
L’équation de condition
’ 3ijS-)-(a + a'}a — — 0 J (e)
si l’on y remplace par sa valeur -j- > devient
o.a' ~\-V ^ — — (o-|-a')a = 0, et , toute réduction faite ,
(.-4^}+iP-*)-=(^y.
équation d’un cercle décrit sur AB comme diamètre (tig. 13/i). Les points d’intersection de ce cercle et du cercle donné seront les points de concours des sécantes APM, BPN, et AM'P', BP'N', telles, que les cordes de jonction M^’ , M'N' , passent par le cenu-e O du cercle donné.
