k° La corde de jonction parallèle à une droite donnée

Si A représente la tangente de l’angle que la droite donnée fait avec la droite AB ,* l’équation qui déterminera a et p sera {a-\-a')7^—{r^-\-aa;—b-) a— h{a-{-a')p .

(r* — aa'+i^;p-|-ÎCa+a')a — ïbr^ ’ ^

d’où l’on tire , toute réduction faite ,

Digilized by-C>

équation de la polaire du point dont les coefficients de |3 et de a sont les coordonnées.

178. 5° La corde de jonction passant par un troisième point donné C (fig. 135).

L’équation (C) (n® 173) prend la forme symétrique

Y [i(A'^+a'a — — ^{bh'-^aa' — r^)] 1 ■^'^\a[b'p-\-a'a—T^)—a\bp-\-aa—f^)—a.{bb'-{-aa' — r^)] >=0, — r^[ {b'p-\-a’a. — r*)-}- (Ap-j-aa— r*) — (bb'-\-aa' — r^)] j

d’où

(AY+flX-r^) (A'iS-l-a'«- 0+(A'Y+a'X-7^

— (pY — «X — r^} (AÎ'-j-aa' — r^) = 0.

Si le troisième point donné C a pour coordonnées a" , b" , l’équation précédente, dans laquelle on fera X i= a’, Y = b’, deviendra, toute réduction faite,

P \b[b'b’-\-a!a'—r^]-\-b'(bb’-\-aa'—t^—b’(J)b'-\-aa' — r^)]

-|-a \a{b'b’-^a!a'' — r^)-\-a'(l)b’-\-a(f—r^)—a''(J>h'-\-aa' — r^)]

— r^[ (A'i*-|-a'a‘' — (AA'-j-aa* — r^) — (bb'-\-aa' — r^)]

Cette équation finale se simplifie si l’on renprque que , la polaire du point B (o' , b') ayant pour équation

l’expression de la longueur de la perpendiculaire Q.p, abaissée sur elle du point C (a*, i”), sera

De même

P bb"-\-aa"

représentera la longueur de la perpendiculaire abaissée du point C sur la polaire du point A (a, b) , comme

„ bb'-\-aa'—r^

est la distance du point B à la polaire du point A. ^

Donc , si l’on désigne C/> , , Br , par k,h', A* ,

OA = ka*4-i^ OB = k'a«-j-A'S par a, d' , l’équation précédente deviendra

P [ Arf'A-j-i'rf*' — iV*»] )

[ ad'k -}- a'dk' — ] > = 0 ;

— r2 [ d'k\- dk'— dkr\ j et faisant d'k ~ dl, le facteur d s’évanouit , et l’on a

rbl+b'k’—Iyk«-\ , ral4-a’k' — a’k’-\ , „

I* [ 4t'iH +“ L-^— i.-j - .

équation qui représente la polaire du point dont les coefficients de « et P sont les coordonnées.

L’intersection de cette droite et du cercle donné déterminera les points de concours des sécantes du problème.

179. La recherche des polaires des numéros précédents donnant lieu à des constructions peu élégantes , on préférera les solutions purement géométriques qui suivent .-j

Par deux points donnés mener à un même point de la circonférence d’un cercle donné deux sécantes telles, que la corde de l’arc intercepté soit parallèle à une droite donnée.

Soit supposé trouvé le point de concours P (fig. 136) des sécantes AP , BP , telles , que la corde MN soit parallèle à la droite donnée RS.

Si l'on mène NH parallèle à AB , et HM prolongée jusqu’à sa rencontre avec AB au point I , on aura les deux triangles AMI et APB semblables , et la proportion

d’où

AM ; AB : ; ai : ap ,