AB
qui déterminera
et par conséquent le point I. Il n’y aura plus qu’à mener par les points l et C des sécantes IM, CM, en un même point. M de la circonférence , et telles, que la corde NH soit parallèle à une droite donnée AB.
Si le point C était sur la droite AB (lig. 138) , après avoir déterminé le point l comme précédemment, on mènerait par les points I et C des sécantes IM, CM, telles, que la corde HN fût parallèle à IC.
On peut énoncer différemment le problème qui précède, en disant : inscrire dans un cercle un triangle dont chacun des côtés passe par un point donné, et appliquer la solution au problème général : inscrire dans un cercle un polygone dont chacun des côtés passe par un point donné.
180 . Étant donnés nn cercle et une droite , trouver un point tel , que toute sécante y soit divisée' par le cercle et la droite en deux segments dont le produit soit constant; déterminer ce produit.
La solution de ce problème dépend de cette question : par un point donné mener une sécante qui soit divisée par la circonférence et la droite données en deux segments dont le produit soit une surface donnée.
L’origine des coordonnées rectangulaires étant au centre du cercle donné , et l’axe des ar perpendiculaire à la droite donnée, les équations du cercle et de la droite seront
Le point donné ayant pour coordonnées a, b, la sécante passant par ce point aura pour équation
r ^ i- Sfi jy C.nogl
La distance du point donné à la circonférence sera représ^tée par D. = y {y,- by-\- (a?. - af ; et, en Tertu de l’équation (3) ,
D. t= (ar. — a)
De même le segment compris entre le point donné et la droite aura pour expression
y, , X,, étant les coordonnées du point d’intersection de la droite ar, = rf , et de la sécante y, — b — A (x^ — a ) , ces équations donnent b — y.;=A(a — d), a — a?, = a(o — d)-, et par conséquent D, = (a — d) y i -|- A^. Si donc P représente la surface donnée , l’énoncé du pro&lème D,D, = P donnera l’équation
dans laquelle il ne reste plus qu’à substituer la valeur de x, provenant de la combinaison des équations = ÿ. — ^ = A (x, — a). On trouve facilement
A (Ao — b)± (1 -f- A*) — (Aa — b}
de là
r(AA 4 a) qt yr^{iJf.A^-{Aa-bf\
L’équation (4) devient par la substitution de cette valeur , et toute réduction faite , i
[d - a] ([A&4 a] qr [1 4 A^j - [Ao — i]) = P. ■ Isolant le radical , et élevant au carré , on obtiendra l’équation , ordonnée par rapport à A ,
(o2-|-A2 r2) (d-a)2A*- 2 (d-a)iZ'-*A 4 (d-a) 2 (o 24 i 2 -r>) 4P[/2~2(d-a)a] = 0. (F)
Cette équation donnera généralement les deux valeurs de A qui satisfont à l’énoncé de la question.
Cette question n’a plus qu’une solution, si -\-b'^ — r^=:0, c’est-à-dire si le point donné est sur la circonférence du cei de donné; dans ce cas , la seule valeur de A ,
devient, si l’on fait — o)K,
Enfin , pour résoudre le problème propose , A sera indéterminé si on a à la fois dans l’équation (F)
P — 2 (rf — a) a = 0.
On tire de ces équations
a = rh r
et P'=z±1r(r'zç.d).
Le point cherché est donc à l’interséction de la circonférence donnée par le diamètre perpendiculaire à la droite donnée , et le produit constant est é{;al au diamètre multiplié par la distance de la circonférence à la droite donnée (fig. 13'9).
181 . Étant donnés un cercle et un point , en peut toujours déterminer un second point tel , que les droites menées de ces deux points à un même point de la circonférence soient dans un rapport constant ; déterminer ce rapport. *
On résoudra d’abord ce problème :
Etant donnés deux points , A et B, déterminer sur la circonférence d’un cercle donné O un point M tel , que le rapport des droites AM et BM soit constant et donné (fig. 140).
Soit le centre du cercle pris pour origine des axes rectangulaires, f axe des x passant par le point A.
Soient OA = </ ,
a,b , les coordonnées du point B,
— le rapport donné :
la condition du problème sera évidemment exprimée par {^{d— xy^ -|- m
[y'[a — xf-\-{b—yf~'n'
La combinaison de celle équation et de celle du cercle
déterminera le point cherché.
Oigitized by Ck)ogk
Or l’équation (1) est le lieu géométrique des points tels , que leurs distances à deux points donnés soient dans un rapport constant et donné (voir plus bas ce problème, quatrième section). L’intersection de ce cercle ( lieu géométrique ) et du cercle donné fera connaître le point demandé.
L’équation (1) , simplifiée au moyen de l’équation (2), devient
k (o=“ -4- — 2«x — lby-\-7^ «’
et , développant,
équation d’une ligne droite, corde d’intei-section des deux cercles. Au reste, cette équation, pouvant se construire à priori , le problème est résolu par l’intersection du cercle (2) et de la droite (3).
Mais , pour revenir à la première question , puisque la position du point {x, y) sur la circonférence est quelconque, il faut que cette équation (3) soit satisfaite indépendamment d’aucune valeur de ces coordonnées. Les coefficients de y et de x et le terme tout connu doivent donc [être nuis , ce qui donne les trois équations A = 0, (A)
qui serviront à déterminer les coordonnées a et des points B ,
ainsi que le rapport, — ,
En vertu de l'équation (A) , l’équation (G) simplifiée donne m? -}- eP
et par conséquent l’équation (B) devient
il’oii
• (a — d) (ad — r^) = 0 , . (D)
équation satisfaite par a — </= 0 ( solution étrangère, puisque le point B cherché doit être nécessairement distinct deA } , ou par ad — , d’où r*
. tn d
et par suite — = - ;
Donc, en résumé, le point cherché est le pôle conjugué du point Â, et le rapport constaui est égal au rapport entre la distance de ce point au centre et le rayon.
182, Étant donnés un cercle et une droite, trouver la position d’un poin^ tel, que , si l’on mène par ce point une sécante quelconque, la partie cora* prise entre ce point et 1e point de section de la sécante avec la droite donnée soit moyenne proportionnelle entre la sécante entière et sa partie extérieure.
La solution de ce problème dépend de celui-ci :
Par un point donné M (fig. 141) mener une sécante EMDC telle, que la distance MC soit moyenne proportionnelle entre CD et CE.
Soien! -j- l’équation du cercle ; l’origine des axes
rectangulaires au centre , et l’axe des x perpendiculaire à la droite PQ ; a? = </, d — OG ; a , p, les coordonnées du point donné, cl par conséquent l’équation de la sécante.
y— P = A(ar — a).
Cette sécante rencontre la droite donnée en un point C, dont les •coordonnées seront déterminées par la combinaison des équations
^x—d, y,=^-j-A(<i— «)=A éΗ (A« — P);
d’où l’on tire
af, — a — d — a,
y.-p=A(rf-«),
et la distance
MC = K(ar. - «)* -1- (y, - = (rf - «) Kr+p. !
Celte même sécante coupe le cercle en deux points , dont les coordonnées sont données par l’élimination entre les équations
(y. — ^) = A (ar. — a).
Di ..
by Googli
On obtient facilement
__rAa— (3) ± Ak»^(l+A2) — QA« — P)2 1+A2 .
Si la sécante entière , comprise entre le point C (a?. , y) et l’un des points de section de la sécante et du cercle , est exprimée par
la partie extérient^ le sera par ■ •
K^.-^3)"+Cy.-y37,
les valeurs x,,y,, et y^j étant rassemblées dans les expressions générales (A).
< On tronvèra par la subtitution
d(14-A2)-rA(Aa— P)— k"r^(l+AV(Aâ-(3)2 ,
\^iW > ^
Or on doit avoir, d’après l’énoncé , -
V.- «)2-f(y P)2 = K (»,-ir,)^+(y — y.y • K a^3)*-4"(y — yj)^;
substituant ponr(«, **-«)* + (?, — P)* > etc. , leur valeurs, on* trouvera
(rf-«)2(l+A2) ={rf(l+A2)- A(A«- p)]2- [r2(l+A2)-(A«-p)2] > développant les calculs , réduisant et ordonnant,
'■ 2p(rf-a)A+p2-(d— (F)
Telle est l’équation qui résoudrait le second problème; mais puisque la proposition énoncée dans le premier doit être vraie pour tontes les sécantes qui passent par le point M, U fout que l’équation ( F ) soit satisfaite indépendamment d’aucune valeur de A : donc ,
, !p(d— *t)ii=o, • " >• <i)
L'équation Cl) est satisfaite soit par p 0 , -soit par (d — «) = 0.
i® Si P = 0 , l’équation (2) donne
rf— :
ce qui indique que le point cherché est sur la droite OGX , à une distance du point G égale à — r^, que l’on construit facile-
ment en portant en M, et M. la longueur de la tangente GT.
2® Si (cf — a) = 0 , l’équation (2) devient
seconde solution , particulière au cas où la droite donnée coupe Je cercle donné , et qui place le point cherché à l’fntersection du cercle et de la droite. Eu effet , pour ce point , l'une des parties de la sécante étaut nulle ^ la condition de l’énoncé est satisfaite.
On arrive plus rapidement au môme résultat en prenant pour inconnue du problème l’ordonnée du point C, où la sécante demandée doit rencontrer la ligue donnée.
En effet , le produit de la sécante entière CE par sa partie extérieure CD étaut égal au carré de la tangente CS , menée du point C j dont les coordonnées sont (d, y) , on a tout de suite l’équation
(d-a)^+(y-^y = d^+y^-^, et, toute ^jj^uction faite ,
(ti — a)2 — 2py 13* — (<£2 r2j = 0 i et , puisq&e y est arbitraire ,
d’où d-«z=:±y~d^ — r2,
môme résultat que précédenuueul , mais débarrassé d’une solution insignifiante.
On peut voir par cet exemple combien le choix de l’inconnue influe sur la simplicité des calculs.
185. Étant donné un point A sur un diamëU'e donne d’|f||| cercle donné O (Bg. 142), on peut toujours déterminer un autre point Mfcl, que si par le premier point A on mène une sécante quelconque£AC, les angles COA et EDA soient constamment é|aux entre eux.
n sera facile de trouver la solutiou de cette question si Ton résout le problème suivant :
Étant donnés deux points A et D sur un diamètre donné d’un cercle donné O, mener par le point A une sécante telle , que les angles CDA rt EDA soient égaux. '
Le diamètre donné est pris pour axe des x, et , l’origine des axes
^ 1 . . nii /.onipo <ln cprclft donné . l’éauation
de ce cercle sera
Soient OA = d , , OD
= «; y., etar,,y.
points G et E , où la sécante passant par équations des lignes CD et DE seront
CD
DE
et puisque , a apres i enoucc , «c» dujjics ^ égaux , réquation du problème sera
jns laquelle il faut substituer à la place des x, , y., et at., y. , leurs
valeurs tirées des équations
y2 = cercle donné ; #
y = A (ar — <0 »
On obtient par l’élimination -
-Arf± At/r^(l+A^)-A^rf^ .
et, séparant les valeurs , ,
r l/^(l4-A*)-A^^ — Arf+At^VÇl-f A^)-A^d^ .
-f^d-Py r^(l+A=Q-A ^ , *.= T“ï+Â? — ' 1+A^^
et par conséquent
, N A2rf-a(l4.A2)-Kr^l+A")-A*«i2
“>- qiÂ^ ^ • •
L’équation (A) , par la substitution des valeurs y, , y, , — a ,
», — «, deviendra , toute réduction faite ,
Cette équation finale résout à la fois les deux problèmes.
En effet, s’il s’agit de déterminer A, on a la relation 1 + A2 = 0, .
qui indique que les deux directions des sécantes qui résolvent le second problème sont perpendiculaires entre elles , et leur angle divisé en deux parties égales par le diamètre donné^Il sufbradonc de mener par le point A deux sécantes AC , AC', faisant d’un côté et d’autre du diamètre des angles de 50°.
Quant au premier problème , on voit que l’équation (F)est satisfaite, quel que soit A , par la relation
r^ — arf=0 ,
d’où “ = ^ :
le point D est donc le pôle conjugé du point A. On le délemiinera , comme on l’a vu précédemment , en menant d’un point quelconque I de la droite AI , perpendiculaire à OA, les deux tangentes IT , IT' , et joignant T'T jusqu’à sa rencontre en D avec OAD ; ou bien en menant par le point A deux sécantes quelconques VAU , V’AÜ' , joignant U'U, V'V ; et, de leur point de rencontre G , abaissant GD perpendiculaire sur OAD.
-vaa. hs ■ .
