QUATRIEME SECTION
184. D’un point donné on mène des droites à une ligne droite, donnée, et l’on partage ces distances en deux parties qui soient danf un rapport donné : trouver le lieu géométrique des points de division.
L’origine des axes rectangulaires étant au point doniié A , on prendra pour^axc des x Ja droite AP perpendiculaire ^ la droite donnée MN (lig. 1&3). .v, .
Soit AP = : l’équation de la droite MN sera ’ * ‘ ^ "
et, si (« , P) représentent les coordonnées d’un dés pOihiS dé division I , l’équation de la sécante AIE sera
AI = D, = |/«^+p2;
eti’ooaura; dè'plns’,' ' '■ ’ ^
si /dope ^ exprime le rapport donné, l’énoncé . !' ./ '
deviendra , toute réduction faite ,
équation d’une ligne droi^ perpendiculaire à J’axe dés x , et parallèle par conséquent à la droite donnée,. passant par le point où la distance d — est divisée en deux parties qui soient entre elles dans le rapport donné.
Ifô. D’un point donné on mène à un cercle donné des sécantes , que l’on divise en deux parties dans un rapport donné : trouver le lieu géométrique des points de division. <
On placera l’origine au point donné A , en prenant pour axe des X la droite AD qui le joint avec le centre du cercle donné (fig. ihU).
Soient AO — </ , a et J3 les coordonnées du point de division I sur une sécante quelconque AB , et enfin x , y , les coordonnées du point de rencontre de la sécante et du cercle.
Les équations du cercle et de la sécante seront *
Or, d’après l’énoncé ,
l/'(x—a.y-^(y—py
, rapport donné.
X ely étant fournies par les équations (1) et (2) , on dttient par une simple élimination
( («24-^2) - cPf i s
d’où
Cl par conséquent l’équation du prubièiue (3) deviendra par la substitution de ces valeurs
ud — ± -1 «
réduisant , isolant le radical , élevant au carré , puis effaçant
, facteur commun à tous les termes du résultat, on aura expression qui prend la forme
équation d’un cercle dont le centre est sur l’axe des x , à une
distance du point A égale à , et dont le rayon^^est égal à
'De là cette construction' :
Joignez le point donné avec le centre du cerce donné ; divisez cette distance AO en deux parties qui soient entre elles dans le rapport donné : le point de division C sera le centre du cercle, lieu géométrique cherché. On déterminera le rayon en menant par le point donné une sécante AB au cercle donné , le rayon OB , et , par le point C , Cl parallèle'à OB : CI sera le rayon.
Ces deux problèmes sont renfermés dans cet énoncé :
D’un point fixe on mène dans toutes les directions des rayons vecteurs, <;^e l’on divise en deux parties dans un rapport donné , si les points extrêmes des rayons vecteurs sont 1* sur une même ligne droite donnée, sur une circonréreuce donnée : déterminer le lieu géométricpie des points de division.
Dans celte question , comme dajis toute autre de ce genre , on se servira avec avantage des coordonnées polaires.
1* Soit l’origme au point donné, et pour ligne fixe la droite •perpendiculaire à la droite donnée , dont l’équation sera
r sin V = eî , ; (O
d représentant la distance des points à la droite.
Soient r le rayon vecteur enlieV, r* la distance du point fixe au point de division : l’énoncé de la question
devient ^ . . . ~ . .
r' tn
•* .• -i 'f î -'iiiw At' •/<
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et, à cause de l’éqaation (1), .• v
r'sin v=: — ; — d, m-\-n
équation d’une droite perpendiculaire à la ligne fixe, à une distance
du point fixe égale à — ■. — d.
2° La ligne fixe passant par le centre du cercle donné, réqualion de ce cercle sera
— idr cos v -\-d} — = 0 j • (2)
substituant la valeur de r tirée de cette équation dans l'équation de condition
on trouvera d’où r** — 2
d cos)
— (P sin^r
r rfT
\jn-\-n\
équation d'un cercle dont le centre est à une distance du point fixe
égale à — ^ — rf, et le rayon égal à — ^ — r , même résultat que m-j-n » ^ J U m-\- 7 i ’ ‘
précédemment.
1 86. D’un point fixe donné on mène des couples de rayons vecteurs , dont l’angle est constamment égal k un angle donné , et dont le rapport des longueurs est ausssi donné , si l’extrémité d’un des rayons vecteurs décrit une ligne droite : quel sera le lieu géométrique des extrémités de l’autre ?
L’origine des axes est placée au point fixe donné A (fig. 165), et l’on a pris pour axe des x AP, perpendiculaire à la droite donnée PQ.
L’équation de ccitg droite sera
d étant la distance AP du point fixe 6 la droite donnée.
Soient x,y, et les coordonnées des points extrêmes des rayons vecteurs : leurs équations seront de la forme
y = kx ,
