rf + - O
équation d’un cercle , Heu géométrique cherché.
Pour déterminer le centre et le rayon de ce cercle , on observera que l’équation précédente peut se mettre sous la forme
=-^=4= iY =('îîrYi
d’où il suit que ce cercle a pour coordonnées du centre ^ m A ,
tn
CCe — —
" Ki+a^
et pour rayon pz=z — r.
On lire des premières valeurs ^ = A
et
le centre est donc sur une ligne droite passant par l’origine A, et faisant l’angle donné avec AO , et de plus à une distance du
point fixe exprimée par— AO.
De là celte conslruciion :
Joignez le point donné A etde centre du cercle donné que décrivent les extrémités des premiers rayons vecteurs. Par le même point A menez AC telle , que CAO = l’angle donné , et prenez AC
telle, que ^ ^ : le point C sera le centre du cercle cherché ;
de ce point comme centre, et avec un rayon qui soit au rayon du cercle donné dans le rapport donné , décrivez un cercle , qui sera le lieu géométrique demandé.
188 . D’un point fixe ou' mène des rayons vecteurs , sur cliacun desquels on prend deux points tels , que le produit de leurs distances respectives au point fixe soit constant et donné. Si les points les plus rapprochés du point fixe sont sur une ligue droite donnée, quel sera le lieu géométrique des autres points ?
L’origine est au point fixe A , et l’axe des x est perpendiculaire à la droite PQ (lig. 147) , dont l’équation est x — d (1), AP = rf.
(«, y) , (et , ^), étant les coordonnées des points pris sur chaque rayon vecteur , l’équation de condition sera
.^üy
Googtî-
et eniÎD on aura
pour exprimer que les deux points sont sur le même rayon vecteur. ’ De l’équation (3) on tire
d’où + =
et, a cause de l’équation (1),
de sorte que l’équation (2) deviendra
et a2 + p*-^«=:0,
équation d’un cercle , lieu géométéflÇue cherché.
On voit facilement que ce cercle passe par l’origine , et que son diamètre est égal à j on peut donc le construire ainsi qu’il sui^:
Du point fixe A menez APX perpendiculaire à la droite PQ des premiers points ; de ce même point, et d’un rayon AM = ?«, côté du carré donné , décrivez un arc de cercle , qui coupe PQ en deux points M et M' , et par M menez MD per^ndiculaire à AM. AD sera le diamètre du cercle cherché.
189. Lorsque , par une condition nouvelle , les points sont assujettis à 8e4ro(nrei’ sur une ligne quelconque donnée , l’intersection du lieu géométrique et de la ligne tlonnéc par condition détermine les points cherchés , et le problème n’est plus indéterminé. • «
S’il s’agissait , par exemple, de mener par un point donné A une sécante à deux ligues données PQ , RS , telles , que le produit des rayons vecteurs AU, AV, fût égal à une surface donnée, l’intersection du cercle , lieu géométrique trouvé au numéro précédent , et de l’autre droite RV , déterminerait la direction de la sécante cherchée AÜV, AV' U'.
DIgitizeef sOi
190. Les données étant les mcines , si les premiers points sont sur ime circonférence donnée , sur quelle ligne se trouveront les seconds ?
L’origine toujours au point fixe, et l’axe des a? passant par le centre du cercle donné , les étiuations du problème seront les mêmes que dans le n* (188) , à l’exception de la première, qui sera remplacée par
équation du cercle donné.
On aura donc pour éliminer * et y , outre c^te équation (1) , les équations
De celte dernière ôn lire - >
OC
et la première devient
(«2 -j- — 2a^<iar -j- = 0
d’où
et y=!3 par conséquent
a.d dz ^ r^(g^
l''PT?=
Substituant dans l’équation (2)., .qn aurp
ad ± Kr» (a* 4- lî») — = m» ,
et, toute réduction (aile.
équation d’un cercle , lieu géométrique cherché.
Cependant si le cercle donné passait par le point fixe , comme
alors rf = r , l’équation (F) donnerait
Le lieu géométrique serait une droite perpendiculaire à l’axe des X , à une distance du point fixe déterminée par la troisième proportionnelle au diamètre du cercle donné et au côté du carré représentant le produit constant des rayons vecteurs.
Si le cercle donné ne passe pas par le point fixe , le lien géométrique est un cercle représenté par l’équation (F) , qui prend la forme
et si l’on fait = (rf-f- r) k, ce qui change le carré donné en un rectangle équivalent dont l’un des côtés est (rf -J- r) , l’équation du cercle deviendra
Ce cercle , d’ailleurs facile à construire directement, est le lieu géométrique des points pris sur les rayons vecteurs menés du point fixe à la circonférence donnée, tels , que leur distance au point fixe soit au rayon vecteur total dans le rapport de A à — r).
De là cette construction :
Du point A (fig. 148) menez AOX ; cherchez une longueur AH= A telle, que AD . Ali = décrivez le cercle, lieu géométrique des points tels', que AI ; AB : AH ; AC ; ce «ercle sera le lieu géométrique demandé.
Au lieu de foire
= &, on aurait pu faire
rf + r“", cl — r
et l’on aurait trouvé une construction analogue , qui aurait douué
le même cercle.
191 . D’un poiut fixe donné un mène des couples de rayons vecteurs , dont l’angle est constamment égal à un angle donné et le produit à une surface donnée ; si l’extrémité des premiers décrit 1° une ligne droite, 2° une circonférence donnée , quelle ligne décrira l’extrémité des seconds?
1° En employant le même système d’axes rectangulaires, on aura les équations
(1) X — dy ligue droite donnée ;
(2; |/ , surface donnée ;
= A , tangente de l’angle donné ,
et A étant les tangentes des angles que font avec l’axe des x les Tayons vecteurs (4) y=*x,
£n vertu des équations (5) et (&) , l’équation (3) donne
re — AbI
^=Lâh:”J*’
et , à cause de l’équation (1) , , . ,
d’où , enfin , _________
-et l’équation (2) devient , par la subtitution de cette valeur ,
+ rf (/Thh?“ kTfF ’
équation d’un cercle qui passe par l’origine.
Cette équation prend la forme
[-KÏRbïï+t-K?pèp)T=(«T'
le diamètre est donc une troisième proportionnelle à et m.
De plus, les coordonnées du centre
"'-2Ld
“'-iLrf Kï+âO’
-donnent
le diamètre passant par l’origine fait donc avec l’axe des x l’angle donné.
De là cette construction :
Du point fixe A (fig. 149) menez AP perpendiculaire à la ligne donnée PQ, et AP'D telle, que DAP= l’angle donné. Prenez AP'= AP =d, élevez la perpendiculaire P'MK-, et prenez AM = m^ et menez MD perpetidiculaire à AM , jusqu’à sa rencontre avec
AP', D en I>. AD sera lë diamètre du cercle-, lieu {;éométriqae de>mandé.
< 192. 2° Pour le second cas , il suffit de remplacer l’équation (1) par
équation du cercle que décrivent les extrémités des premiers vecteurs.
On a trouvé (n* 187) f
^A6-}-«) d ± [(A6-f-g)* -|- (6 — Aa)^] — (6 — Aa)^<P
et , à cause de
k(Ap+a)î+(p — A«)2==Kc?+^kTTÂ*.
t ^Trr-î-r, |3^)(1+A^)- (p-A»)V^
• par conséquent l’équation de condition
- deviendra , après une première réduction ,
( Ap 4- a) d ± k r* (a"' + j3") (1+ A^) — (P — Aa)2 rf' .
kï+A*
•Isolant le radical et élevant au carré, on obtient, toutes réductions -faites,
et enfin
«^-f-6* 2 -JS — ^ . r - a — 2 -J 5 j. v =. B -4* n 2 ~ ® >
fP — r^kl+A* «P— r^ kl+A**^ ' ^
équation d’un cercle , qui peut se mettre sous la forme ,
^ m^d 1 , f„ rn^d A f vPr \
kï+Â^/ “ V'P-W ’
et , si l’on fait = A ,
âil’ou se reporte au n* 187 , on reconnaîtra dans celte équation
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le lieu géométrique des seconds rayons vecteurs, quand les premiers décrïvent une circonférence , et que le rapport de ces rayons vec-‘
leurs est constant et égal à
105. Si = r , c’est-à-dire ai le point fixe est sur la circonférence donnée , l’équation (F) devient
équation d’une ligne droite perpendiculaire à toutes les droites qui font l’angle donné avec l’axe des x. Si du point fixe on mène une droite inclinée de cette manière sur cette axe , cette droite aura pour équation
p-:Aa=:0i CH)
élevant (G) en (H) au carré et ajoutant, on trouvera
(AP+ - A«f = (^')'(1+A*) , et , réduction faite,
oe qui achèvera de déterminer la droite , lieu géométrique dans ce cas particulier.
On mènera par le point fixe une droite faisant l’angle donné , avec celle qui le joint au centre di^ cercle donné ; on prendra sur
cette droite une longueur égale à — , et par ce point extrême
on mènera une perpendiculaire à la droite , cette pei^ndiculaire sera le lieu géométrique demandé.
194. Trouver le lieu géométrique des points d'oii la ligne qui joint deux points donnés est vue constamment sous un même angle donné. ( L’angle de vision d’une ligne est l’angle que forment les rayons vecteurs menés du point de l’oeil aux points extrêmes de cette ligne ). ‘
En général, soient p, 9, et g', les coordonnées rectangulaires des points donnés.
Les équations des droites menées de chacun de ces points seront de la forme
y — qz=ik(x—p), 1 y — q'=:k'(x — /»'). i
là
— ils —
Si t représente la tangente de l’angle donné A , on aura, d’après la formule connue ,
substituant les valeurs de i et k' tirées des équations (1) , on’obtiendra
Cette équation d’uu cercle, lieu géométrique demaadé, peut se mettre sous la forme
Nous engageons le lecteur à faire le calcul , en complétant les carrés des binômes en x et en y.
On reconnaît facilement que le centre de ce cercle a pour coordonnées
4«t que le rayon
PlP
On tire dfs deux premières valeurs ^ « ^-^(T+T*)
ou
«quation d’une ligne droite perpendiculaire sur le milieu de U ligne qui joint les points donnés.
Quant à la troisième valeur, on voit sans peine que, si d exprime la distance des points donnes , elle devient
sin A
le rayon du cercle est donc l’hypoténuse d’un triangle rectangle dont la moitié de la distance est le côté de l’angle droit opposé à l’angle donné A.
De là la construction connue (lig. 150).
105. Telle est l’équation (S) la plus générale du segment ca> pable d’un angle donné décrit sur une longueur donnée. Nous l’avons donnée dans toute sa généralité , tant à cause de son utilité dans toutes les questions du genre de celles qui composent ce recueil , que comme exercice de calcul algébrique.
Il sera facile de résoudre le problème :
Déterminer un point d’oh deux longueurs données sont vues sous un même angle donné , ou chacune sous uu angle donné.
EnBn , dans le cas où trois longueurs données forment un triangle , on peut assigner le point d’où ces côtés sont vus sous le même angle , qui a dans ce cas une valeur déterminée. Il est évident qu’il a pour valeur — ^ , et que par conséquent ce point est
au point de concours des trois segments capables de l’angle décrits sur chaque côté et dans l’intérieur du triangle.
196. Trouver le Heu géoniétri^uë des petrits d’où, deux cercles don nés soient vus sons le même angle. (1/angle de vision d’un cercle est l’angle formé par les deux tangentes menées au cercle du point de l’oeil. }
Soient, en général , (x — a)*-}- (y — by = l’équation d’un cercle , y — |5 = A(at — «) l’équation d’une droite quelc 0 n(|ue menée du point dont les coordobnées «ont
On a tu (n* ù8) que la condition de tangence dn cercle et de la droite est exprimée par la relation.
développant et ordonnant par rapport à A ,
(a-«)*]A’+2(a-») (i-p)A-fr»-^ (*—?)*= « »
et par conséquent les tangentes au cercle font, avec la ligne prise pour axe des x,. des angles dont les tangentes sont exprimées par
la double valeur
A.|"". ■" rï-Co-ay*
Or, en désignant >ar ? Fangle des deux tangentes, on aura évidemment ' . .
“"8^=iqFÂX-
On tire des vsdeurs précédentes
a,-a.=p::^KÏ=OT(‘-S“->"'
et de l’équation qui les a données A.A.—
par conséquent ,
iang?=
r*— (a—af
et, toute réducüon faite , '
2r l^(g-a)^+(A -pÿ‘-f »
tang f — —
Telle est en général l’expression de la tangente de l angle que font entre elles les deux tangentes menées au cercle du point(«,p). Il est évident que pour un second cercle dont l’équation serait
ou aurait de même
tang î’=:
égalant ces deux valeurs, l’équation résultante en « et p sera l’équation du lieu géométrique cherché : donc
[(o— «V+ {b-pY—r^-1^ ~ [(a'—
Cette équation se simplifie rapidement , si , après avoir fait disparaître le facteur commun 2, on divise les deux termes de chaque fraction par le numérateur. On trouve en effet
égalant les dénominateurs , transposant et réduisant
1/ (o-«y-K6-pf-r
Cette équation ne pouvant être satisfaite que par
on en tire facilement les deux relations
yja — àf-\-{h — PŸ r y{a!—^'f+{v~py “
L’équation (T) exprimé que les tangentes menées du point (a, 6) aux deux cercles doivent être dans le rapport des rayons ;
Et l’équation (D) , que les distances de ce point aux centres doivent être dans le même rapport.
Ce qui est d’ailleurs évident : car, si les angles T, MT,, T',M'T, , (fig.151) doivent être égaux, leurs moitiés T, MO, , T'.MO' , léseront aussi , et par conséquent les triangles ’T.MO , T'.MO', seront semblables.
