La question est donc ramenée à'ce nouveau'problème
ïrouver te Heu géométrique des. points tels , que 1e rapport de leurs distances respectives à deux points donnés soit constant et donné.
II suffira pour résoudre ce problème de développer l’équation D ; mis avant on pourra la simplifier en plaçant l’origine des axes rectangulaires au centre du premier cercle , l’axe des x passant par le centre du second. Alors si l’on fait a' = , et qu’on substitueoutre cette valeur celles de
l’équation D deviendra
élevant an carré et réduisant , on Uvuvera
-2rfrîa-f «i2r2=: 0',
équation d’un cercle , qui prend la forme
et enfin
Le centre est donc sur la ligne des points donnés ; on le déterminera, ainsi que le rayon , en observant que
et
rf,
rZirp ^ expriment les distances OP' et OP des ,
points tels , que leurs distances aux points donnés O et O' soient entre elles dans le rapport de r à r*.
Les deux transformations précédentes font voir que PP' est le diamètre du cercle , lieu géométrique demandé.
— Si7 —
Donc , chercher les deux points P et P' tels, <}iie OP r OP' r ■ PO'“y"
et décrire sur PP', comme diamètre, un cercle qui sera le lieu géb' métrique des points d’où les deux cercles donnés seront tus sous le même angle , et en général tels , que le rapport de leurs dî-
stances aux points Oet 0' sera constant et égal à — .
198. Étant données deux droites quelconques dans un plan , trouver le lieu géométrique des points tels , que menant de chacun d’eux des couples de droites aux deux lignes données , chacune sous un angle constant et donné , le rapport de ces distances soit égal à un rapport constant et donné.
Les deux lignes données OX , OY (Bg. 15&), étant prises pour axe , soient a et |3 les coordonnées d’un point quelconque M des points cherchés , a, et a. les rapports des sinus des angles 'que les droites menées de ce point font chacune avec les axes; quantités différentes entre elles , puisque les angles sont supposés inégaux pour un même couple , mais quantités connueset constantes , puisque les angles que chacune des droites fait avec les axes sont constants et donnés : les équations du couple du point M seront donc
MP (y. — (3) = o.(ar, — «>,
MQ (y.— = — a);
Les coordonnées du point P seront données par la combinaison des équations
MP (y,— = — a) ,
OPY JP. = 0 ,
comme celles du point Q par la combinaisou des équations MQ (y. — = a. (ar. — a) ,
OQX y. = 0;
et , d’après la formule connue , on aura
, MP = k (jp.— y— 2(jp.— «) (y.— PJ cos A ,
MQ= (a— JP.7+(j5— yJ2— 2 (b— yj cos A,
A représentant l’angle des axes ou des droites donnéesv
Les cquaüons (A) donnent a?, = 0 , y, = (p — a,«) ; d’où (x,— a) = — «, (y, — (3) = — a.o ; par conséquent
MP = — a X/' l-[- —2a, cos A ,
et par lue transformation très simple des lignes trigonométriques MP = — « (a,— cos A)^-|-sin^A.
De même les équations (B) donnent y, = 0 , x. = a — — ; d’où
(JS — yj = P > (“ 1 - »,) = — ; et , substituant dans l’expression de MQ, on obtient, toute réduction faite,
MQ= ^ — cos A)^+ sin^A.
Si donc — est le rapj)«n donné , on aura pour équation finale
Le lieu géométrique cherché est denc une droite qui passe par le point de concours des droites données.
Reste à déterminer la direction de cette droite.
• Première méthode. L’équation (F), par l’introduction d’un facteur arbitraire d , prend la forme
et celle de = — /,a , en faisant pour abréger
m (a , — cos Ay-|-sin^A
d (o, — cos A)*-|- sin*A —
Par un point D dq l’axe des y , tel , que OD = ef , si l’on mène les deux droites DE , DF , faisant avec chacune des droites l’angle donné , les équations de ces droites seront
(x,— «0 = fl.5,»
DF (z.— ‘^ = ‘'.5.;
et chacune d’elles rencontrant les axes en des points D, E , F , dont les coordonnées sont ,
pdurD, = Ç. = 0> 5. = 0,
pourE, 5'.— — — ;
pour F, x'.==®» — ~ a,*
les longueurs des parties comprises DE et DF seront exprimée» DE = |/(x.-x'. -x'.)CS.-yJ A
dK(a,— cosA)^+sin ^^ :
DF = k7 Z=^^+Cg.-g'0 ^-3(x.-x'.)(g.-?. C08 A dV^ {a , — cos A)^-|- sin^A
Si l’on cherche maintenant les coordonnéès du point où la droite, lieu géométrique demandé , est rencontrée par l’une des droites DE ou DF, DE par exemple , il faudra combiner les équations
d’où l’on tire
dL
. . dl.
“ ^=Tfï7.>
coordonnées du point I.
La distance lE , dont les coordonnées des points extrêmes sont,
T dl. . dl, pouri,
pourE, o'= — =
aura pour expression
lE = k(« — «0 + (P — PO — 2 — «') (P — W cos A , et, à cause de
« — aï
dl.
dl, K (a — cos A)^-f sin^A
Rétablissant , dans celte valeur , les valeurs de /, et l.
dl.
d (o. — cos A)^+sin*A ,
(o, — cosA*) -j- sin^A> ,*
après avoir divisé les deux termes de la fraction , multiplicateur du radical , par a, , on trouvera
d (o, — cosAy-{-sin^A d (a, — cos A)^-|- sin^A
— cosAy-j-sin^A ^ ot ^ p^(g.— cosAy»j-sin^A * a, « o,
en6n , substituant à la place des radicaux leurs valeurs
d |/'(o — cos A)*+ sin^A = DE ,
. d (a — cos Ay+ sin*A
ut y
■ou aura IE = - . — ■,
de+Jdf
De ce résultat on déduit la construction suivante :
Par un point quelconque de l’une des droites , par D de la droite OY par exemple , menez DE , DF , sous l’inclinaison donnée respectivement pour chacune des sécantes ; prenez sur le prolongement de DE une longueur DH , telle que ^ ; cherchez
ensuite une troisième proportionnelle aux longueurs EH et ED: cette troisième proportionnelle , portée sur El , déterminera la direction de la droite à construire , puisqu’elle doit passer en outre par le point de concours des droites données OY , OX.
Deuxième méthode. L’équation finale (F) , mise sous la forme
- \/ (a,— C0SA)*-4-sin*A ty,
pm — — = — na K (o, — cosA/-j-siirA >
est satisfaite par les valeurs
(o, — cos AY-j- sin^A « m = — >
P— — n[/^ (a,— cos A;*4-sin*A. ^
Or, ces valeurs sont faciles à déterminer. Eu effet , si d’un point
niriiîized by'GîKj^le
M, pris sur l’axe des y, et tel , que OM s= m , on mène une sécante MM', qui fasse avec OY l’angle constant des sécantes menées à cet axe , Cette droite MM' aura pour équation y. — rnz=aje„
et elle rencontrera l’axe des x en un point M', dont les coordonnées ' seront
d’ailleurs celles du point M sont '
ar. = 0,y.= m,
et par suite
(JP. — O = ^ , (y.— y'.) = P» :
de sorte que la partie comprise MM' aura pour valeur
MM'=k"(j?.— y'O*— 2(iT.— ar'.Ky.— y'OcosA i (o,— cos A)*4- sin^A
— in ■ I " '
De même, si du pointN, pris sur l’axe des x, et tel , que ON ==n, on mène une droite NN(, qui fasse avec OX l’angle constant que les sécantes doivent faire avec cet axe , l’équation de celte droite sera
et l’on trouvera pour coordonnées des points N et N', pourN, a!', = n, ÿ, = 0;
pour N', a», =0, y, = — o,« ;
d’où (j?, — a?',) XX. — « ,
et par conséquent
NN' = \/ (jT.~ ar'.y-|-(y,— ÿ,')^— 2(x ,— ar.') y'Xcos A
= — nlf^(a , — cos A)*+ sin^A :
donc a = MM',p = NN'.
De là cette nouvelle construction :
Cherchez les longueurs MM', NN', d’après la méthode indiquée ci-dessus ; à partir du point de concours , et sur l’axe des x, prenez OAsMM', 06;=: NN', et menez AH' et BH' réciproquement pa-
tallèles à ces axes : la droite cherchée passera par le point H' ; le lieu géométrique sera donc OH'.
Troisième méthode. Les équations
(a , — cos A )*+ sin* A
a TH I ■ f
P = — n (o, — cos A)*-j-sin*A >
sont celles de deux droites parallèles aux axes.
Si de l’origine on mène à ces parallèles des droites sous l’inclinaison donnée , les distances de l’origine au point où chacune de ces droites rencontrera la parallèle correspondante seront ex-
priipées par
D.=i/a,*+P.*— 2 «JS,cosA ,
D.= |«^a. -1- jS, —20^,0081..
Les valeurs de a., p., et a., <les équations
K Ça — cosA)^-f-sin^A
P, sont données par la combinaison j3.=— (o— cosA)*-|-sin*A ,
d’où l’on tire sans difficulté
D, = «.’ + cos A
^ ^ K(o.-ços^^±sinfA ^/ (a.-cbsA)=‘-t^in^À ,
D. = 2a^.cosA — — nV' (O— cosA)*+sin^Â
cosAy-f-sin^A
et par conséquent
De là cette troisième construction , plus simple que les précédentes ;
Menez du point de concours des droites données deux lignes OL., OL, (fig. 153), respectivement sous les inclinaisons données, et prenez dans des directions opposées l’une à l’autre OL, et OL, , telles, que OL, ; OL. : 1 m ; w , de telle sorte que , l’une des longueurs étant arbitraire , l’autre sera déterminée par cette proportion ; et par les points L, et L, menez les parallèles L,T , L.l , respectivement parallèles aux axes. Ces parallèles se rencontre-
ïont en un pôint I , qui déterminera le lieu géométrique OIG;
On peut d’ailleurs prendre , pour plus de simplicicité, OL, =m, OL, = n.
Les trois solutions qu’on vient de trouver ne répondent qu’au cas particulier où les points cherchés doivent se trouver dans l’angle des droites données. 11 est facile de voir qu’il existe une autre ligne, passant toujours par le point de concours, mais extérieurement par rapport à l’angle des droites, qui jouit de la propriété demandée. Cette jlignc se trouvera par une autre combinaison de signes dans les valeurs données par l’analyse. Ainsi, dans la troisième solution, au lieu de prendre OL, dans une direction opposée, on peut prendre OL"', dans le même sens que OL, , et la parallèle L',I' déterminera, par sa rencontre avec L.1*I , le point 1', par lequel passera la droite 01', lieu géométrique demandé.
Si les angles donnés sont droits, le problème se change en celui-ci :
Étant données deux droites, Idéterminer les points tels, que leurs distances k chacune d’elles soient dans un rapport donné.
La solution ne diffère en rien des précédentes , qui sont indépendantes des valeurs particulières de a, et a,. *
Enfin on résoudra , sans difficulté , par l’intersection de deux lieux géométriques faciles à déterminer le problème déterminé suivant:
Étant données trois droites dans un plan , trouver sur ce plan un point tel , que menant de ce point à chacune des droites des sécantes , chacune sous une inclinaison donnée , les distances du point anx droites données , comptées sur les sécantes, soient entre elles dans le rapport de :: m : n : p.
Et, comme cas particulier ,
Étant données trois droites dans un plan, | déterminer un point tel, que ses distances aux droites , soient dans le rapport de trois longueurs ou de trois . nombres donnés.
199. Étant données trois droites qui se coupent en un même point, trouver le lieu géométrique des points tels , que si l’on mène de chacun de ces points, sous une inclinaison donnée , des sécantes aux lignes droites données , le produit de la distance entre ce point et la première droite par une longueur donnné , soit égal à la somme des produits des distances du même point à chacune des deux autres , chacune de ces distances multipliée par une longueur donnée.
Soieâtles droites données ÂY, AO, AX (fîg. lS2t), dont les deux «itrémes sont prises pour axes des coordonnées , généralement obliques.
Soit M un des points cherchés : la condition du problème se^ exprimée par
MN./=sMO .m + MP.n, . (1)
l, met n, étant les longueurs données.
Il s’agit de rendre analytiquement cette condition.
Or, a étant le rapport des sinus des angles que chaque sécante doit faire avec les lignes AX et AY , quantité connue , puisque l’inclinaison de ces sécantes sur l’une quelconque des trois droites ejft donnée, l’équation de la sécante passant par le point M (a , ^) sera
MP y — p=a(a? — a).
Les coordonnées du point N seront données par la combinaison .
des équations
MP
AY
d’où l’on tire
ar.= 0.
et (a — =: « ,
et, par conséquent ,
MN = (/'(a— — y.)^— 2 («—a?.) (y — P.) cos A =«p^(o— cos A)2-J- sin^A.
Les coordonnées du point O seront données par l’élimination «ntre les équations
MP ^ y. — ^ = O (a?. — a) ,
AO y. = kx.,
 étant le rapport des sinus des angles que AO fait avec les deux autres droites. On obtient
P — Oa
et (« — =
ia — P k — a
«Toù
ia — P ,
— (a — cos A)^-j- sin^A*
Enfin les coordonnées dn point P sont déterminées pir rensemble
des équations
MP y,— e c= a (j?,— «) ,
yi = 0;
d’oè
de sorte que
MP = cos A = - |)^(a— ço«A)*4-siii*A.
Substituant ces valeurs de MN, MO, MP, dans Féquation de condition (I) , on obtient après avoir supprimé le focteur commun
(a— cosA)*+8in*A ,
et , tonie réduction faite , AM
. '„mA — /{A — (
ma — n(A — o)
Le lieu géométrique esi donc une ligne droite passant par Forigine, c’est-à-dire par le pmnt de concours dee trws droites données.
Pour déterminer k direction de cette droite , soitq^ris UA point quelconque P' àur Fàxe des or, AP'=d, et par ce point soit menée, sous l’inclinaison donnée , la (koite P'M’, dons l’équaiion sera
PM' fi = a (cc — d). ,
On obtiendra les coordonnées du |;)oint M' de, ,i;i|f^ntre des droites P'M' et ÀM en conibbaut leurs équations, ce qui donnera
J ma — n(A — a)
. . J mo— n (A — g) ^ ~~
SOBt^D
P'M' ft = a(«i —
