ti|r ■Btre ^iii aoaywfMn un même point

trouver lé i^u gmuArnfSte~âès poinlé^ls , (^eÿ^'enM^xSÎRme inclinaison donnée , de chacun de ces paint4^nne sécante qui coupe les quatre droites ,1 la somme des produits des distances entre le point d’où part la sécante et le point où elle rencontre les deux premières, cUauqtfèMlâltipliée par une longuei^r donnée-^ Joit ég^le à la sopij^e des produits des deux autres distances par des longueurs aiissi données.

Les droites extrêmes étant prises pour axes , si M («, jS) (fig l55) est un point du lieu géométrique cherché , et que l’angle mDx soit l'inclinaison cënstaiitejet-do^néfi!^i’éiiDBeé,do la question sera exprimé par •> j ' \ ' *

1,%., A h. P, étant les longueurs données.

Digili-

,y GoogU

Ils'agitd’exprimer les distances MA, MB , MC, MD, en foncticm des constantes dn problème.

Les lignes données OY sont représentées par = 0 , OB — y = *»,

OC ‘ — îr=*'a».

OX — y = 0;

et la aécanle passant par le point M est représentée par y - |S=3a (af — «),

« exprimant , pour ce système d’axes , le rapport des sinus des angles que chaque sécante fait avec eux; quantité constante d’après l’énoncé , et d’ailleurs fsicile à déterminer , connaissant l'angle des axes et l’inclinaison des sécantes sur l’un d’eux. Au reste, dans ce problème, comme dans le précédent, on n’aura pas besoin de * détemiaer la Talenr de a.

« et ^ sont , comme on Ta dit , les coordonnées dn point M* et y,, coordonnées dn point A , seront déterminëes par les équations

MD y. — |* = o (»,— «) »

OAY *. = 0 ,

qnidowMnt«,=0,y.=:^ — o«; d’où'« — et par conséquent *

** . "ma c” A

= K k^(o— cos^>*-|-sin’A.

Deaéfpations i

MD y,— P c= a v

OB y.=*".>

QU tte

<Foù

= I/(o— cosA]*-j-6in^A. ,,

Les équations

MD y, — p = o(jr,— «),

OC y, = A'ar, ,

domenl , fc = t;( 20 ï) ,

MC = k'(«-jr^*-Ke-f0^2C«-*,)(e-f.) MÜ ■■

= ~j^~ (O,— cosA)^+ 8 in*A.

Enfin les équations

MD y,— e = ffl(jp<~«),

ODX y*=0, -

donnent = , y, = 0 ; .*

d’où

(* — « 4 ) = -, (6 — yJsC, et *1 J"-'-

MD = J/' («-ar^ï+( 6 y 4 )*~*(ii^|t|ÿiiiï

= ^ \/ (o — cosA)^-}“"“**'^ ;

: fio '> ■ ^

substituant ces quatre valeurs dans l’équation ( 1 ) , on obtiendra , toute réduction faite,

‘■+’”(fer)=”(ï=T)+'i’ '

et enfin

Dir.:;:, . y Googk'

Le lieu g^m^trique cherché est donc une ligne droite passàM pai’ le poüM dé qoncooK des quatre droites donne"es> /

Pour déterminer la direction de cette droite on emploiera , comme précédemment , une sécante auxiliaire , passant par un point déterminé et parallèle à toutes les sécantes du problème.

Soit KL cette sécante, passant par le point K, dont les coordonnées sont (<^ 0) , son équation sera

et les valeurs de « Résultant ’ de <¥ëlimin^ion entre celte équation et l’équatiba (F) seront coordonnées du point de rt^onMLütHMs deux droites. ^ *

pql d^fiTanHles valeurs d^^Sfet supprimant le fat©-

teur COE

d’où

J ni ( oYA-}- [?À' — a) — /iX']

wi(Av«) — [Ma— '

, rwt(A'— a)o-|-[^ A’ — a) — ^t) *! •: '.i

substituant celte valeur dans l’équation (F), on obtient tout de suite

, r m'A'-«)A^f/(A’-<C-nA'] (A-a)- | -b

telles sont les ^leu|i;de^ coordonnées dy point L.

Pour trouver celle du point G , on combinera les équations

dl- ^ 143 »- <* f | 5 , : 5 i< O (a. '^d ) . - = t*>*.

OHY «.ÎPO, .

dont on tirera ,MhMÜéi> 1...

^,= — ad,

et par conÿéqqeqt > ’■ n = ‘ -

, * . J r/nfAC— a)a-l-[»(A'— o) — nd\{k~a)~\

. If .

J+aJ:

et, toute rédaction faite,

fi fi — fTf/ — «g](^— o^ ~|

on aura donc , pour la distance LG . : ■ ,

LG = =r

Des équations

on tire

od .. kad

k-a> P'-TTi

paf^séquent

GH = (j3 j(V j3j cos a

Les équations

T^j p^'^Tios ■

donnent

KL ft=a(«,-rf)j "■'1 '