GK GI

lUV

GK

GI

alors

YX=ÏIH«T-TX=p^4-**-»»er '

et par conséquent

LG=

GI. YX ' RV ’

quatrième proportionnelle , facile à trouver comme les précédentes.

Donc , par un point quelconque K de la droite donnée OX, menez sous l’inclinaison donnée la ligne KIHG , que tous prolongerez d’une quantité GL , déterminée comme on vient de le voir; la ligne OLM sera le lieu géométrique demandé.

801. Trouver te lieu géométrique des points H tels , que , menant de chacun de ces points, tous des inclinaisons données, deux sécantes MB, MC (fig. 156) , les segmenisOB et AC, comptés à partir de deux points demiés

O et A sur une ligne donnée OX , soient dans le rapport donné » .

La ligne donnée OX étant prise pour axe des « , et l’origine des coordonnées rectangulaires placée au point donné 0, les équations des sécantes menées par le point M («, |3) seront

MB y, — f=a,(x, — a),

MC y.— j5=a.(x.— ec),

O, et a, représentant les tangentes des angles donnés MBX, MCX. Si l’on fait dans ces équations y, = 0 , y, = 0 , on trouvera

x.=OB=z^^!^ ,

Si donc d exprime la distance des deux points donnés, le segment AC sera égal à

AC=i-(^).

et l’on aura pour équation du problème

d’où l’on tire

(m-f"”)" — ^^jn-|-^n^jS=:wu/: (F)

le lieu géométrique est une ligne droite.

Sîron fâit |9 = 0 dans l’équation (F) , on trouve

i.'jj,)! n ; il .r .1 . ir.

wi-j-n

la droite coupe l’axe des X en un point tel , que le rapport de ses distances aux deux points donnés est égal au rapport donné.

Ppnr avoir nn autre point de cette droite, on supposera menées des points donnés O et A , et^sons les inclinaisons données, les droite OP et AP , dont les équations seront . , . ,

OP y = ,

AP y = a, (a: — d).

Ces deux droites , n’étant pas généralement parallèles , se rencontreront en un point P, dont les coordonnées sont

ajuji a — O "

Or il est facile de voir que ces valeurs , substituées à a et 6 dans l’équation (F) , satisfont à cette équation. On trouve en effet

— — — ffi

' * y» rt *

équation évidemment identique.

Donc , on divisera la distance des points donnés en deux segments qui soient dans le rapport donné ; par chacun des deux points donnés on mènera nne droite faisant avec la droite des deux points un angle égal à l'angle donné , et , joignant le point de division de la distance avec le point de renèOntre des deux droites , on aura la droite , lieu géométrique demandé.

Si a, — a,, les sécantes MB, MC, se confondent , et l’équaiion(F) devient . i

équation d'une droite , très facile à construire.

Digilized by Googlc

Enfin, si fl.= 00 , on a a = d , équation d’une perpendî^

culaire à la droite des deux poinu doimés , au poiat oit leur dir stance est divisée dans le rapport donné.

I ' ;*ii» ’t <

802 Étant donnés un point et une droite , trouver le lieu géométrique des points tels . que le carré de leur distance au point soit équivalent au rectangle de leur distance & la droite et d’une longueur donnée.

On prendra pour axe des y la droite donnée , et pour axe des aria droite passant parle point donné et perpendiculaire à cette droite.

L’équation du problème sera évidemment

car OA = rf, MA = + (« - MP =«, et / = longueur

donnée (fig. 157).

L’équation précédente peut se mettre sous la forme

équation d‘un cercle dont le centre est sur l’axe des at , et que l’on construira ainsi qu’il suit •

On prendra AC = 1/2 / , et le point C sera le centre du cercle , lieu géométrique ; sur OC , comme diamètre, on décrira une demicirconférence , sur laquelle on portera 01 = OA = d : et CI sera le rayon.

On aurait pu proposer le problème plus généralement, en substituant à l’équivalence des surfaces leur rapport donné L’équation finale dans ce cas général ^

ttUrait donné une constractioa analogue à la précédente.

• 'Kc;r.XSO . V - ' problème.

Étant dnonés deux points , quel est le lieu géométrique des points

Digitizod by Coogif

tels, que le rapport 4e l’excès du carré de leur distance k l’un des points donnés sur une surface donnée , au carré de leur distance k l’autre prànt, soit égal k un rapport constant et donné ? ’

La liffoe qui joint les points donnés A et B (fig. 158) est prise pour axe des abscisses, et l’origne des coordonnées rectangulaires est placée à l’un des points donnés , au point Â.

Soit M («, jS) un des points cherchés , P le carré équivalent à la

surface donnée , et^ le rapport constant : Fénoncé de la question ÂM^ — f m

sera exprimé analytiquement par l’équation («— ’

= ÂB , distance entre les deux points donnés.

On obtient, en développant ,

équation d’un cercle , dont il reste à déterminer le centre et le rayon.

L’équation (A) reçoit la forme

et à cause de

mtP

p^+r»--— dT

im-nf

rtPéP

yntuP

nf (

dT-

mnJP

enfin , comme on peut toujours faire P=zkdf

^dT=-!i-d[-^d-k\: (F)

le centre du cercle, lieu géométrique cherché, est donc sur la ligne qui joint les points donnés , à une distance du point  égale à

</ , et son rayon une moyenne proportionadle à

et , ce qui fournit cette construction : <

Cherchez sur le prolonf][ement de AB un point O tel , que AO ; BO ; ; ; n , le point O sera le centre du cercle , lieu géométrique. On a en effet . * »

AO=— rf et BO = — ^ d.

m — fl m — n

Tranformez le carré donné ADEF — P en un rectangle dont AB = rf soit l’un des côtés ; portez l’autre côté AH = A en AC :

alors CO = AO — AC= f — ——d— a 1 . Sur CO décrivez unedemicirconférence ; élevez la perpendiculaire BI , et du point O , comuM

centre, et d’un rayon 01=p^Cü .BO=^/^ n

décrivez la circonférence , qui sera le lien géométriqoé demandé. S04. Si m = n , l’équation (A) donne

miP -f- mP P

“ 2wuf ad ■ ’ *

et ,'à cause de P~kd,

équation de la droite PQ , perpendiculaire sur le mtliea de Cette condition , m =: n , introduite dans Témuicé général , le change en ce cas particulier :

Trouver la Uen géométrique des poinU (eis , que l’exeès 4a carré de leur distance k l’on des deux points donné sar une sartee in uM i dti ioj| éqai* valent au carré de leur distaiice k l'antra.

Ou , Trouver le lieu gémnétrique des potaUf tds, qw la carrés de leaiadi|laDosk' vaspectives à ilûa pflqtoéatoiii si

donnée.

des

90». Si de fd«s P tm B, a n»|ât b pelÿ«idSl&ibb«

ékfv^ sur bmflieq dqb %iqai jebt bs dftt pohMsdemés, lieu §&M||é!^ne dejtp^^l» dtmt lg^u^rés dep diManoes respeo-

tives iuK » 00 Jes distances elles -mêmes, soient

égâles.** I

^ 06 . EnGn , si , et si m est difTérent de n , ce qw cocres pond à l’énoncé :

IC I O il, ■ . .

Trouva le lieo géométrique des poinis tels , que le rapport des carrés de leurs distances respectives & deux points donnés soit égal à un rapport constant

l'équation (F) , qui devient

1 r w» ,1* ‘fn , n , '*

B* -4- I « — d — d . df ,

est l'équation d’un cercle dont le centre est toujours au point 0 , aMisJdont le rayon est une moyenne proportionnelle entre ÂO et B^ c’csl-irtdire 01'.

nôin,fKîànfi 4 ^outs supposé m ^ «t il est facile de voir quit clianfijif^ipiene dans les constructions le cas contraire

907< £tant donnés demt points , troliver le lieu géométrique des points tels , que le rapport de l'excès d’une surface donnée sur le carré de la distance de chacun d’eux è l’iin des points donnés , au carré de sa dislani^ à l’autre , soit égal à un rapport constant et donné (6g. 159).

précédent , on aura , en se servant des ^.^ç§,p^ta^ns(

tMui vfc ènaa st, aé»» • i y r p itècmiia attU et lairiio iT

•«afk tim skaupaS auél'iiir'aniiSB»~fcufiu^ loi; rttaik nah rurl à aoa/jsift

d’où l’on tire é sMUUalk •uml sé krtaa tm intlttf

aA ««ia-iffnA. *t *1*9 ( <d»>.

s -teviwiT , u9

^AnrytiU

’q a j5f« ébiz.mt

enfin, posant Pz=kd,

fa d

équation d’un cercle , qui se construit de la manière suivante : Divisez AB = , distance des points donnés , en deux segments qui soient dans le rapport donné ; le point de division 0 sera le centre :