PROBLÈME. JI

26. Déterminer le rapport entre l’excès du carré de la somme descdtés d’un angle d’un triangle sur le carré du troisième côté et la surface du triangle.

1° A, B, C, a, A , 0 étant les angles et les côtés du triangle , on aura , d’après la formule connue

O* -f- — 2oA cos C = , (A)

d’où (a -|- — ùoA cos* ^ = c*. (1)

Si P désigne le demi-contour du triangle , on tire de cette dernière équation la formule connue

2 ab

On a d’ailleurs, pour la surface du triangle ^

, oA sin G

surf =;

kab cos*^

’ G G' 2ai sin - cos - 2 2

Et désignant par R, le- rapport cherché ,

tang - G

D’où l’on peut conclure que ce rapport est constant pour lotis les triangles qui ont le même angle , quels que soient la base et les côtés qui comprennent cet angle.

Dans ions les triangles rectangles ce rapport est égal à U.

■ 2» Si l’on désigne par R, le rapport de l’excès du carré d’un coté sur le carré de la différence des deux autres et' la surface du triangle, on aura

■D — (a — iy 1

“■= — àrf-^='““SîC,

car l'équation (A) doone(<i — liai sia^5—

d’où

sin -C

le — ~ a){p — h)

ab

Multipliant ces deux rapports ,

R R =z [ (g + — c^1 fc^ - (o — __

surP ■ —

d’où l’on tire encore , p désignant le demi-contour ,

surf = 1/^ - a)(j>~b)Çj, — c)-,

divisant ces rapports , = lan^^ - ~ ^ — {a — by

«. 2 (a-hby — c^'

d’où lang 1 r~ !^(P — ^)(p — b )

27. Construire un triangle équilatéral dont les trois sommets reposent

sur trois Circonférences concentriques données ( fig. 14).

Soient AO = r., OB = r,, OCrrr-j, et a? le côté du triangle équilatéral ABC ou A'B'C- (carie triangle demande peut avoir l’une et l’autre de ces deux positions); si l’on considère l’angle A et son correspondant A' , on aura évidemment

cos BAC = cos (OAC -f- BAB ) et cos BA’C = cos (t/A'C — OA 'B').

Or les triangles OAC, OAB, OA'C', OA'B', donnent

cos OAC = AC^ + OA^ — OÇ^ -f __ ^.,2 2AC.OA ^

cos OAB = AB^ -j- OA^ — QB^ aé* -f - r.^

2AB . OA ^ ^ a

cos OA'C'= r2