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valeurs indépendantes de a ; et comme rien dans cette analyse ne particularise la position de l^xe des x, on eu conclut le théorème général du n* 306 , dont nous rappelons rénon'céw
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61 de tous le) poinU d'one droite donnée on ni^ k (me oourfaedu S* degré des oonplesdeUngentes, toutes les corcleseeconlsct SC couperont en un seul et même poist (Bg.''7’7). I I » .i,* /•
' Cé pobH est désigné sous le nbm dep^Çr, phrcü tjuè Tes cordes deooûtâot sembleM ÀNitvipr autour de lut, & néëdte'^é'fes' points, d’où sont menées le* couples de fdngentes s’éloigtaent ëepfns eirpWI' sur la débite donnée.'’'
UfeHé di'dite'lsst liOiiraiëe à s<m totté' la potnîH du .potnt', commc4é point est le pèle ^.la fli^ke.^'< ' " • ' i*
243. Jifâir cer diéori^è r'emarcpaÿie n^est (ft’uu cas parti-
ctilier d’nne proposilion pins générale à lac^uelle conduit le problème suivant :
D’un point quelconque O (Bg. 90), pris dans le plan d’une combe du J* degré, on mÈne à la courbe deux sécanteniquelconquesOAB , OCD, et 1 on joint directement et léciproquement deux i deux les points de rencontre des sécantes arec ta courbe par les droites ACM, BDM, AND, GNB î U s’agit de trouver le Uen géométrique des points d’intersection M et N de ces droites.
Si l’on prend pour origine le point O , et pour axes deux sécantes quelconques OAB , OCD , l'équation de la courbe sera de k« forme
+ Bxy -f Caf* -I- D/ + Ex -1- F =: 0.*
Les quantités A, B, C, D, E, F, varieront quand on passera à un'autre syslème de deux autres sécantes.
Soit fait OA = x', OB=x", OC =/ , OD=sy"; étant les racines de l’équation Cx^ -j-Ex F = 0 (1) >015^, y"t les racines de l’^ualion Ay^ -F Dj + F = 0 (2).
Les droites AC , BD , rencontrant les axes aux points dont les coordonnées sont (x*, 01, (0,ÿ'),.pr", Oj , C0,y”), auront pour éqqatians
yt I Jgl ’ y» > X*
entre lequelles il faut éliminer x*, x", y*, y". Ajoutant membre à membre ces deux équations , on obtiendra
Mais y* et y" étant les racines de l’équation. (2), et x* et x" celles de l’équation (1) , oq a , d’après fa théorie des équations ,
Substituant ces valeurs dans l’équation (3) , on obtient f toute '
réduction faite ,
Dy-+Ex + 2F=0. fP)
Or, quel que soit Iç système de deux sécantes que l’on prenne pour axes , les quantités D, E, F, ne sont point des fonctions de X et de y: on peut donc conclure que f,
L« lieu géométrique de» poinb d’intersectk» N e»t une ligne droite. . ,
Oigiliïed t; Googli
Les droites de jonciions récif ro({Ufi. AD, CB, auraieit ëvidem^r ment pour équations '' ' •’<.
•t, par uo calcul exactement semblable t on tarerait que) >
ne» géiWtriqttédespoinbd'iâtei:tection It^ea inëa^ilroUé.iiy^^^ y, t>: ■' ■ t C l'i:- •( ' n' ,'T’ "le'tj !il. i
. flÎ43. Màintanant si l'on suppose que , la sécante OCD (fig. 91) restant fixe, la sécante OAB, mobile au tour du point dé relation O ^ se rapproche d’elle, Ihs droites de jonclioa directe et réciproque sc couperont toujours sur la môme droite , et il eo sera de même lorsque les sécantes se réUifiront en une SeuIeOC^; alors les droites de jonction dicècte deviennent les tan^ntès aux points C et D , et les cordes de jonction réciproque se confondent avec la sécante OCD elle-même. ^ '■ " ^ '
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Si d’on point qtiklosmpieprb Sam le pltS'd'aae eobAe da S* degrg on mène des sécantes, et par les points d’intersection, des tangentes è la courbe, toutes œs couples de tangeotes se opiperont sur latnSme ligne droi^ , Igul sera la polaire du pointOie. ' * • ‘ u. ‘ i
Si le point est extérieur, la polaire n’est autre chose que la cordc de contact , qu'on reconnaît aiséoient dans l'équation (P), . laquelle est exactement la même que l’équation (C) du n* (2/tl).
Si le point est sur la courbe , ila polaire sc qpnfond avec la tangente , et le pôle est le point de contact. »
Enfin , si le point est intérieur, la polaire passe en dehors^ de la courbe. ‘ I : - - t*s , r
Dans tous les , la polaire est coujugifée Air diamètre qui passe par le pôle (206). ' i 'v >•
