AD AE
= -JP" = -p- = A , rapport constant , ,
Or, sf l’on combine entre elles les équations de la courbe èt de la sécante , afin {f’oKtënlr les abscisses des points d’intersection, on obiieiidra^ par rélimÜMtiDn dey,
(Ao*-}-Bà4-C)a^.^(Da-fÉf:r-f-T = 0^^
•fl ' Ao* -j- B<k|- G •
et par conséquent < —
Et, comme le point («',
aura P = aa } d’où a = - ; et enfin DjS E« -f- 2F = 0 , équation
x'-j-x* , Da-^E*
I appanienl ù la droite y = aor, on
Oigiûz^ by GoogU:
d’nne ligne droite qui n'cst autre chose que la corde de contact des tangentes menées à la éourbe ppr le point A , ou autrement 'dit la polaire du poirtt A '
•'--fr ■f*
340. D'un pninl.donnéoninènedeux tniignatea ftuaeicowlw du 2* dc|>rt, et par le même point une perpendiculaire sur ia corde de contact i délenniner généralement la direction de cette perpendicxilaire. ' ' * *
‘ Soit y*= 2/»a? + qs" l’éqiiation des courbes rapportées à.leur - . axe principal trausverse , l'origine au sommet : l’équation de te ,• corde de-contacl sera, comme on l'a vu précédenÉment (306) fi, étant'les coordonnées du point donné,'' '
|5y =p(a? + «) +flç«r; ' (1)
ettla perpendiculaire ^baissée du meme point («, ^)surla corde dé contact aura pour équation ' ^
-li.» /. ‘Miv*; Ui, ci ;hî;. .. ,r,7r“ tvmi. r«; ,.w ;» ..
- f ,damt. «ettq équation, y 9P..pour ilélerqimerdb poiftou la perpendiculaire reptxmtrpjl'an^des pn aurai . , ! i ; -
Si le point (<c , p) est un point de la directrice , auquel cas (1A7)
‘•'Di ■ ; t'i-' ..1 >■) '* ■ '1 Ijq i •
a étant l’absoiste da. foyer correspondant ^on aura
^o = P+(^~ll^ï^)^r:F9>
et» toute réduction faite, , '
*>6 l'K'vci 'r« é!i/'-Jfri>no, f.ji tt 91^1^ ••'f'y.'.û »i
I k’ . ;,i.v.| y y'I'.’. jV». .
. V 'é I Ml' > ; J- -i-' .
■qui n'est antre chose que F^sctssp dp fo}^. Donc : ,
, THÉOhÈBÏE.
3-da WattetpclatareaH dirpctriee tTuae contlie du» dCfiOonOitOf dMoaadè'dmaentt»'^ la courbet et dBrc«»»tine^iKddlB de* perpendicnlaiipt lurles cordes de contact, taules ces perpepdicnlaires bout csncourlraii foyer coireopoodant . .. ,i.'- -j, iî;/j ■
tin autre , si Ton fait y 3: 0 dans l’équation (1) , il en résulte
• «.' ,•%. ê br. >: ,> • ' ••«•.‘■s .•
Digiti.;::d by GlH
ly Goci^
et, si l’onsuppose quelepoiptdoané soitsur la-directrice eoposant
KiT
et a =
on trouvera , après avoir fait les réductions convenables ,
-0— f+fl/i+T
Donc :
' THÉORÈME
La directrice est la polaire du foyer correspondant , et réciproquement le foyer est le pèle de la directrice correspondante.
Il suit de là que toute sécante passant par le foyer est divisée barmouiqueiuent au foyer par la directrice et par lacourbe(2à8).
THÉORÈME
960. Quatre droites , GM , MN , NP, PQ (fig. 95) , étant tangentes à une courbe du 2* degré , si l’on joint les points P et M , II et I , o6 se coupent deux à deux ces tangentes, la droite LK menée par les fnitieux de HI et MP passe par le centre si la courbe est pourvue d’un centre , on bien est un diamètre la courbe n'a pas de centre.
Si l’on prend pour axeà des x le diamètre CFOÂ qui passe par le point d’intersection F des cordes de contact, ou autrement dit par le pôle de la droite III , auquel cas l’autre àxe conjugué OY doit être nécessairement parallèle à cette droite, l’équation de la courbe sera ÿ* = ;
et , si l’on désigne par « , p , les coordonnées du point I , par a ,
, celles du point H , les équations des tangentes issues des points I et II seront de la forme
dans lesquelles
P' {p+qa)±:pi^ — 2p» — go?
Ipa -f- qt^
de sorte que les équations des quatre tangentes sont , en faisant, pour aln’éger , i
— 2/j« — qa} == et P'* — 2^« — K’^ >
INP
rp (p + ?«) +p^^“j L 2pa+<jra*' J
(ar — a),
IMG
"Mp + '7«) — pP^ 1
L' 9pa + qa? J
HPQ
r^'fp 7«) + rKK^-|
L 2pa + J
HNM
lÿ — P’) —
r|5'(p + <7«)-pl^K^'"
1 2pK + q<n^ •
(ar — a) ;
et, donnant à ces équations la forme ordinaire y = <Mr + £,
^ ^ 2/;a + Ça^ ’
. jS(p+7“) — gp( p +
î'— ^pot^+qa^ 2/W + 7«‘* ’
INP
IMG
HPQ
HNM
y = *+^rr-T-73— :
|3'(p4-?«') — I gp(P+J^^^)
2pa + <7a^ ^ ^ 2pa -j- «7«^ ’
Or une simple élimination entre les équations de^deux droites, y = <MT i , y = 4" > ’ '
donne pour coordonnées de leur^ points d’int'eréection h’ — b ab' —a'h
*-~^ô’7==~VTF-
Si donc on représente par a?, , y., les coordonnées du point P , intersection des droites (1) et (3), on trouvera sans difficulté
ip' — p) — ( Vk^ — V ^
Quant à la valeur de y, , on trouve, en effectuant les calculs etrédaisant '
’ \p'-p)(p + 7«) +p (Kk^ - K K?/
