C.oosl
£n combinant entre elles les équations (2) et (A) , et désignant par ar. , coordonnées du point d'intersection M des droites qu’elles représentent , on parviendra aux valeurs suivantes :
(Kks~-KP)
(P' - P) (;» + 9«) -f CKK'* - kIP) »
P ki^ — P’ kK^
(P’ - P) O + î«) - J» (kK'^ - kKO'
Maintenant , si l’on représente par X', Y', les (^ordonnées du point L, milieu de IH, on aura
et si X', Y*, représentent les coordonnées du point K , milieu de PM , on aura 4
Substituant dans ces dernières expressions les valeurs de x, « ÿ,, et de X., y,f trouvées précédemment, et faisant, pour
abréger,
on obtiendra , toute réduction faite,
X» - „« rp<y+(P'-P;^o>-i-g«)i
pkK’^-P'kP 1 . ^ lp^G^-iP>-P)Hp-i-qayS
Or l'équalion de la droite passast par les points L et K serait
Faisant y =: 0 , pour avoir l’abscisse du point où cette droite rencontre l’axe des x , on en tire
Substituant dans cette expression les valeurs deX', Y", et de X", Y”, on obtient
' X - ^ G(PkK'^-P'kg^MP'4P)l> G^4-tP'-Pi^04f«)3
Or
f(|3'+P) (J/F^-KK*)(|3'P) (J/P+KS^] :
on trouvera donc, après simplification ,
résultat indépendant de a , |3 et |3'.
• Donc la droite LK passe par le centre de la courbe; et, si 0 , LK est un diamètre.
Ce théorème renferme une partie du théorème du n° 229. D’après ce théorème pn trouvera sans difficulté le centre d’une courbe du deuxième degré assujettie à être tangente à quatre droites, ou la direction de l’axe de la paraboles! la courbe doit être une parabole.
2»i. Nous terminerons cette analyse par la démonstration d’une propriété très remarquable des courbes du deuxième degré, et* qui consiste dans les théorèmes qui suivent:
■ ■ THÉORÈME
4* ün hexagone étant inscrit dans une courbe du S* degré, si i’on désigne les côtés par les six premiers nombres 1,2, 8, 4, 5, 6. en allant dans le sens du périmètre, les trois poinU d’intersection des côtés 1, 4; 2, 5; 8, 6, sont sur une même droite. ' '
2* Dn hexagone étant circonscrit à une courbe du 2* degré, et les nombres Il , III, IV, V, VI, indiquant les sommets en aUant dans le sens du périmètre, les diagonales qui joignent les sommets I , IV; II, V; in, VI, se coupent en un même point.
1» Soit ahedef (%. 96) un hexagone inscrit dans une courbe du deuxième degré. Prenons pour axes des coordonnées les côtés ai, rfe(l, ft), l’origine étant à leur point d’intersection O ; faisons 0® oc, Orf '■ — Oo p, Oi^^p' ; et désignons par P, q, et p\ ç'ies coordonnées des points f et c. ü l.’ÀpntioB générale des courbe du deuxième degré pateant par les quatre points a, h, c, <2, (186) est
pt ia coube Rêvant passer par les points fet c , on aura de plus les relations
