PP
f + mpq + - (p. } P')7 - -f a')P,+ = 0 , (D)
CN-w-^(«-Kv+pp'=o, (EX
dont une seule suffirait pourjdéterminerm,. et par couséqi^nt l’espèce de la courbe représentée par l’équation (C), dans laquelle ou substituerait la valeur de m.
Cela posé , les équations des droites af, bo ,et fe, cd, chacune passant par deux points dont les coordonnées sont connues, seront
bo - '
cd
Combinant entre elles ces équations pour trouver les coor- ’ données des points d’intersection de ces droites , et désignant par J. > et a?, , J'. , les coordonnées du point d’intersection des droites (2) (6), et (S) , (6) , on trouvera sans difficulté ’ •
d’où l’on tire
__ P* (p — g) P' 4- pfqa. '
■ ^ — o)(9' — p') — {fq *
rp'^+p(9'-P)
pp> t ^ ^ pi) ^
II** i'
Or, si l’on élimine m entre les équations (D) et (E) , on obtiendra
' q<l>(l^q—pq<)—pp^{p>q—pq') qq’ (p'-p) (p+jS')
aoc
- PP> W- q) ~ (=rf*0+PP' W- pq) = 0 , (L)
équation qui peut se meure sous la forme
^pp’“H-p’(î-^’)^ ~ ^pp’^-.+pW’-W^ == ®»
et d’où l’on lire
donc
pq'-, + q'(q — ^) p^q-^qW—P')
pp'j+pW — P) pp^-'i-p'iq—P’)
• çt ,
la droite qni joint les points Let H passe donc par l'origine , et par conséquent les trois points O, I, H , sont en ligne droite.
2> Quant à la seconde proposition, elle se démontre facilement sans le secours du calcul.
En effet , soit ABCDEF (fig. 97) un hexagone circonscrit à une courbe du deuxième degré dont les côtés touchent la courbe aux points a, b, e, d, e, f. Le point A (1) est le pôle de la corde de contact ab , le point D (iv) celui de la corde de contact ed : donc la diagonale AD, qui joint les sommets i et iv, est la polaire du point d’intersection O des deux polaires ab, ed.
De même la diagonale qui joint les sommets B et E ( ii et t ) est la polaire du point d'intersection I des polaires correspondantes «/*, Ac.
Et, enfin, la diagonale CF, qui joint les sommets iii et n, est la polaire du point d’intersection U des polaires correspondantes fa, ed.
Mais d’après la première proposition les trois pôles O, I, H, sont én ligne droite: donc les trois polaires se coupent en un seul et même point P , qui est le pôle de la droite des points d’intersection des côtés 1, 4; 2, 5 ; 3, 6, de l’hexagone inscrit , dont les sommets touchent la courbe aux points de contact.
SUIS. Corollaire I. Étant donnés çinq points d’une courbe du deuxième degré , on irouv’era facilement , par une construction graphique, le point d’intersection avec la courbe d'uoo droite quelconque menée par un des points donnés, «t par conséquent on pourra construire ainsi la courbe par points. , . .
. . Vv " «
SS5. Corollaire IL Si l'un des côtés de l'hexagone in^rit devient nul , c’est-à-dire si deux des six semmeis, «, se réunissent en un seul, le sixième côté devient upq ta»' gente à la courbe, et il en résulte que , 1 , 2 , 3 , & , 5 , désignant les côtés du pentagone inscrit ahcd {e,f), 1, à; 4; S; 3 et la tangente au, point ( e, f) , se coupent sur une même droite. Ou pourra donc, étant donnés cinq points d’une courbe du deuxième degré , mener une tangente pur un de ces (xtints.
SîiS4. Corollaire IH. Étant donnés cinq poiinls i, 2, 3, à, 4 , d’une courbe du deuxième dej'ré , on pourra déterminer le centre. En effet, par un des points, (1) par exemple , on mènera la tangente par un autre quelconque (2) des' autres points une sécante parallèle à la tangente, dout on cberchera.le point d’intersection (6) avec ia courbe,,; et l'on prendra le.jaûifeudo Ja corde (2, 6). Joignant le point (1) avec ce point milieu, on cherchera le point d’inlerseclion (7) de celte nouvelle séeante avec la courbe , et le point milieu de celle corde sera le centre cherché. ‘ '
Remarque I. Si le point (7) était situé à rinfini , la courbe serait une parabole , et la deruière sécante trouvée seraR un diamètre. ^ ‘
Remarque Si le centre trouvé tombe dans l’intérieur du polygone convexe formé -par la jonction deux à deux des cinq points donnés, la courbe est pne ellipse.
S’il tombe à l’extérieur, une hyperbole, et lestppq points sont sur une mémo branche de la courbe. - , >. ■.
Remarque III. S’il n’est pas possible de former un pentagone convexe 'avec' les cinq points donnés , la courbe est une hyperbole et les points donnés sont distribués sur les deux branches.
Remarque IV. Si trois points sont en ngiie droite , le lieu
fiWlrique es. re.«mble dos d.«î droicos convorgodto, „„
Enfin les cinq points peuvent être snr une tnêtne droite.
288. Ciliaire IV. Si l’iiexagorte inscrit se chanre en quadrilatère (fiç 99) , les points eeif, c^xd, étant confondus en
auxToi^ f l’hexagone deviennent les tangentes
X points (ce?) , («/), et les points d’intersection des côtés et des tjjngentes sont sur une môme droUe. , «
2^. Corollaire\. Enfin , lorsque les points a et i , e ex d eetf sont réunis , l’hexagone est remplacé par deux triangles’ dont 1 un inscrit et 1 autre circonscrit (fig, loo). *.
' 'théorème. '' ■’
«TT'*" i.
droite. I ^ 3 et 6, se coupent sur une même ligne
En effet , les côtés ai et ed(i et i'' ffidr <o»\ At^„t
“5oS,7/;
lagonales bf, ce, etae , fd, auront pour équations
ce
ae
fd .
rf -
(ar - «) ;
d’interSonS^H'^^^^^ “°»’flonn‘5es des points
•niersecnon I , H', de,ô/’ et , «e et fd , on trouvera
= — ~f~ Cy — fi') «]
Cp'— «)(7 J
, — ? Ip'fi + (?' — '.
d’où l’on tire
pf, + (î-/9)
Eq ëg[alant les seconds membres de ces équations , on treize pour résultat l’équation L =: 0 (251) : donc — = et les trois points O , r, H', sont en ligne droite.
Corollaire I. Comme l’on peut choisir 'pour axés deux des côtés quelconques pris dans le même ordre indiqué précédemment, il s’ensuit que les points O, I, II; O, l'j H'; O', I’, H;
O', I, H' , sont trois à trois sur une même ligne droite.
Corollaire II. Il s’ensuit encore que les polaires correspondantes aux points O, I, H , O', I', H' , se coupent trois à trois en ’ 1
un inême point P, Q, R, S ; la polaire de chacun des ppints O, I, H, O', I', H', passe par l’intersection des couples de droites qui n’aboulissent pas à ce même point ; ainsi la polaire O passe par O’, celle de I par P ,^çelle de H par H' , et réciproquement.*'
De plus, le poinl^’intersection t des polairês de I et.I' est le % pôle de 1 1', A ïe pôle de HH' , o de OO' , dont le point d’intersection G des droites HH', OO', est le pôle de la droite oh, laquelle se confond avec la diagonale' ad (242) ; de même <fv ou be a pour pôle le point d’intersection E des droites O O', I P, et ih ou ef, lé points d’intersection F des doites II', HH'. '
On déduit facilement de cette analyse la solution dn péoblèmc suivant :
' PROBLËiffi.
Inscrire dans «ne courbe donnée du 2* degré on triangle dont chacun des cétés soit assujetti à passer par un point donué.
Soient 0, 1, H' (fig. 102) , les trois points donnés par lesquels les côtés du triangle inscrit doivent passer.
Le problème proposé revient évidemment à mener par deux poinis O et I deux sécantes à un même point inconnu b de la courbe, telles que la corde d’intersection ac passe par un troisième |K>hil H'.
On joindra 01 , et le point d’intersection H de 01 et de la po- " luire du point II' sera xléterminé ; ou joindra de même OH’ , et le point d’interseclion I' de OH' et de la polaire du point I sera pareillement déterminé.
On mènera ensuite les droites H'K)' , l'HO' , ce qui déterminera le point O' ; puis, en joignant 00', HH', on connaîtra le point G J qui est le pôle de la droite ad.
Hii point G, on mènera donc les deux tangentes à la courbe Ga, ; et entio les sécantes Gab , ou bien Oad, Ir/*, qui offrent les deux spiUtious du problème, abc et edf.
On peut encore trouver directement les deux points de la coui'be , £ , e , où les sécantes doivent se rencontrer. Pour cela on cliercbera le point d’intersection £ des droites 1 1' , 00', qui doivent se couper au pôle de la droite., he qui joint les deux poinis demandés.
.Qptte solution peut s’étendre à un polygone quelconque.
Applications. , ' ■
' . . . PROBLÈiUE. 1
Par cinq points domés faire passer une coorbe du 2* degré.- '
Déterminée d’abord le genre de la courbe ( !98J^ et le centre
si Ja courbe doit, avoir un centre , pu la direction des diamètres de la parabole si la courbe cherebée dpit é^e une parabole. .
Premier cas. Si la courbe cherchée doit avoir un poutre , voici comment on pouira déterminer ses éléments par nu procédé purement graphique , et pour cela trois points de la courbe suffiront lorsque le centre sera déterminé.
SoienlO(flg. 103) le centre, déterminé ainsi qa’ila été dit précédemment (198) ; Â, C, D, trois quelconques des points donnés.
Menez indéfiniment AO ,el prenez Oa=:OA. Aaâeraun diamètre. Menez ensuite CD, qui rencontre Aa en P ; puis joignez directenienl et réciproquement les points A, C, D, a, par les droites AC, «D, qui se rencontrent eu H, etaC , AD, qui se rencontrent en I ; la droite IIIK passant par ces deux points est la polaire du point P (2al) et (243), et de plus elle est parallèle au diamètre conjugué à Aa (206). Menant, par le centre O, OB parallèle à HI , on aura la direction de ce diamètre conjugué.
Pour savoir si la courbe doit être une ellipse ou une hyperbole, par le point C ou D , à volonté, on mènera une droite parallèle à III, et si cette droite rencontre le diamètre Ao entre les points A et a , la courbe sera une ellipse ; dans le cas contraire, une hyperbole.
1” La ligure 103 a rapport au cas de l’ellipse. Alors; connaissant le centre , la direction des diamètres conjugués et la grandeur de l’un deux , on déterminera la longueur de 1 autre par la méthode du n» 195.
On construira la courbe sur ces deux diamètres conjugués par l’uue des méthodes connues ; ou, si l’on veut, on «Iclerminera les axes (256) , puis les foyers , la directrice , etc.
2“ Si la courbe demandée doit être une hyperbole , après s en être assuré en menant par le point C ou I) (tig. lOA) une parallèle à lllK , on mènera OB parallèle aussi à HIK , qui indiquera la direction du diamètre conjugué à Aa.
Connaissant un diamètre , la direction de son conjugué et un point de la courbe , on déterminera la longueur de ce second diamètre (81) , et l’pn construira la courbe sur ces deux dianièti'cs conjugués , connus de grandeur cl de direction.
On pourra, si l’on veut, déterminer les asymptotes de la manière suivante :
Soient, en supposant le problème résolu, OS, OS' (lig. lOA bit,)
lesasymptotesdemandécs;parlepoinl A, onmènera parallèlement
à OB la droite indéfinie AS, qui sera tangente à la courbe au point A , et rencontrera lès asymploles aux points S, S'. C étant un point de la courbe, et la corde AC prolongée jusqu’en N et N' sur les asymptotes, le point milieu M de la corde AC, d’après la propriété des sécantes entre les asymptotes , sera tel que MN = MN' : par conséquent si l’on mène SR parallèle è SS', la droite OM partagera en deux parties égales la droite SR au
Di.
pointu. Donc AU sera paraUèle à OS, et UN paraHèleet égale à' AS , et l’on aura les proportions
MA^ m__MV ' Mn MO’ MN’*“MU’
et , multipliant entre eiles ces égalités,
mâ^mv *
MÜ '
MN sera donc déterminé , et par conséquent l’asymptote ONS ; prenant CN' = AN, on aura l’autre asymptote OS'N'.
Deuxième cas. Si la courbe demandée doit être une parabole, on déterminera la direction de ses diamètres (198), et trois points de la courbe suftiront pour la déterminer, ainsi qu’-il suit
"Par le point A (fig. 105) menez AX parallèle à la direction des diamètres , trouvée comme il a été indiqué ci-dessus : il s’agit de trouver la direction de la tangente à la courbe au point A , c’est-à-dire de l’axe conjugué an diamètre AX. Pour cela soient B et C les deux autres points connus de la parabole ; joignez BC, qui rencontre AX en P. Afin de déterminet*' la polaire de ce point , on joindra AC , et par le point B , on mènera BH parallèle à AX ; on mènera dé même AB , et , par le point C, CI parallèle à AX , et la polaire IH sera déterminée; enfin , par le point A, menant AT parallèle à HIK , on aura la direction de la tangente à l’extrémité du diamètre.
Connaissant un système d’axes conjugués de la pai^bole, il suffira de connaître un point de la "courbe pour déterminer le paramètre du diamètre (86), et la construction detla parabole se fera sans difficulté (86).
On peutencore déterminer le foyer, lorsqu’on a trouvé le para* mètre du diamètre AX , en menant AFG telle, que l’angle T'AG = TAX, et prenant sur AFG une longueur AF, égale au quart du paramètre (222).
Mais on peut aussi déterminer le foyer sans être obligé de déterminer le paramètre; pour cela H suffira de connaître la direction de la tangente en un second point B de la courbe , ce qui peut se faire de plusieurs manières. La plus simple eonsislc à mener BM parallèle à AT, et à prendre AN = AM (207); la tanpenie NB.\' sera déterminée. Alors , menant BFL'’ telle , que
l’angle NBL = N'BH , la rencontre des droites AFG , BFL, déterminera le foyer. ,
Le foyer étant déterminé , on mènera , parallèlement au diamètre AX , SFY, qui sera l’axe del;i parabole et rencontrera la tangente TAT' au point T'j puis,* abaissant AQ perpendiculaire sur l’axe , le point S , milieu de T'Q , sera le sommet ; enfln , prenant sur le prolongement de l’axe SD c= SF , et élevant une perpendiculaire à SFY , DD' sera la directrice.
200. Deuxième manière. Étant donnés les cinq points (fig. 96)
O, A, c, d, e, joignez les points par les droites ah (1) , bc (2) , cd (3) , de (4) , et par le point a menez une droite quelconque nfM (6). Joignez le point d’intersection Ode (1) et (4) avec le point d’intersection H de (3) et (6) , et par le pjinl d’intersection 1 de OH et de(2) mepez \cf, qui déterminera un sixième point /*(261). On se servira de ce moyen pour déterminèr autant de points qu’on voudra.
26i. TVofirtème mant«r«. Étant donnés les cinq points a,b,Cf d, e, (lig. 98), appelez les côtés du pentagone (1), (2), (3), (4), (5); prolongez (1) et (4) jusqu’à leur point de rencontre 0 , (3) et (5) jusqu’enH ; joignez OH, et par le point de concours I des droites OH et ic (2 ) menez le, qui sera tangente à la courbe (253). Par un des points donnes b menez une corde bb' parallèle à la tangente le , et déterminez le point d’intersection b' avec la courbe (260) ; menez par le milieu m de celle corde la droite eCm , et cherchez de même le point de rcncontte A de la courbe et de la sécante ; eA. sera un dianièlTe ; C , milieu de «A , le centre ; et enfin cB, parallèle à bb', la direction du conjugué de ek. , , ' . '
On déterminera la longueur de ce diamètre par une des mé,-> thodes indiquées précédemment , parmi lesquelles nous rappél- . lerotts la, suivante : par le point b menez une tangente ÉAS, ainsi qu’il a été indiqué pour la tangente au poiniis , et cherchez une moyenne proportionnelle à cR et ASi:, celte moyenne proportionnelle sera la longueur du demi-diamètre conjugué à ek (228). . ‘ ■ Dans chaque cas particulier on aura.égard aux remarques qui terminent le n« 254. ^ j ,
