DE LA NORMALE D.\NS LES COURBES DU 2* DEGRÉ

263. On appelle en général normale à une courbe la Iperpendiculaire à la tangente au point de contact ; si'donc l’on considère la tangente comme unè ligne droite qui a un élément commun avec la courbe , on pourra dire que la normale est aussi perpendiculaire à la courbe au point où elle lâ-traverse.

D’après cette définition ^ il sera très facile de détermbier l’équation de la normale en un point donné d’une courbe quelconque du deuxième degré.

Soit , en effet , = ipx -f: gar* l’équation générale , les axes

conjugués faisant entre eux un angle qudeonque 6. L’équatiou de la taugente MT au point M (ar’y';, élant (205) '

dans laquelle r=s a exprime le rapport des sinus des an-

gles que la tangente fait avec les deux axes , l’équation de la

normale au même point M (fig.'lO?) sera de la forme

et il doit exister entre a et a' la relation connue (24) i -j- oa' 4“ (“ + <*') cp8 • = û>

puisque les droites (1) et (2) sont perpendiculaire l^uUe à l’aiitre. On lire de celte équation de condition - - â ■

, 1 + O cos 9

fl» J— — J

a -|- co s 0 ' . - ^

par conséquent l’équation générale delà normale sera

(/> -1- yar'J -jr-y* cos 6

Si la courbe est rapportée à' ses axes principaux 9 = f00°, cos e = 0 , et l’équation de la normale devient

■(x — jr').

{x — ar*).'

$00. On nomme sous-norm'ale la portion de l’axe comprise entre le point où la normale rencontre cet axe et le pied de l’ordonnée du point de contact : ainsi PN (fig. 108) est la sous-normale à la courbe au pointM. .On trouvera sa valeur en faisant 7 = 0 dans l’équation de la normale ; et., tirant de cette équation, ainsi. modifiée, la valeur de — x' , on, obtiendra Xq — x'z=p-\-qx'. Siç=:0, la sous '^normale sTg On en conclut le théorème suivant : '

■ ' ■ THÉORÈME, ■

Dans toute pAnlioIe la toos-nonBale est conslaatc et égale au demi-paramitre.

207. Si l'on désigne, par a,, a,, les abscisses des foyers F, F’ (fig. 109), on aura .

PN=ro— «,={/>^u,)+(l4'y)*' et 'E*Nr=<r,— arÆ:(a.— p)— (l-l-^)â»' ;

et, d'après l’é^aiion de condition qui sert à déterminer les abscisses du foyer (138),

et par conséquent

FN=Kî+^(a.+;r'l/^) , F'NzrJ/H^^Ca-aJ'l/ï+ÿ) .

d’où

FN «7, + ar> -j- y F^ ffj — J?' (/ 1 *4~ ?

Mbis FM -et F'M ont aussi pour valeurs , d’après l’expression générale du rayon vecteur p = a ±:

FM = P. = O. + a;' |/l + ÿ , jF'M =p.=: a.-.ar'I/ï'+ÿ ;