FM FN F'M ~ F'N
donc
et par conséquent la normale MN en un point quelconque de la courbe divise en deux parties égales l'angle des rayons vecteurs ci) ce point.
P’où l’on conclut encore que la tangente partage eu deux parties égales l’angle formé .par l’un des rayons vecteurs et le prolongement de l’autre.
268. Lorsque la courbe est une parabole , l’un des rayons vecteurs F'M devenant parallèle à l’axe (ûg. llO) , on a 'nMF' = MNF=:NMF,
et le triangle MNF est isocèle; et la droite GFH, parallèle à la tangente TR , partage en deux parties égales et coupe perpendiculairement la normale MN. . v
De plus , on sait (224) que , si du foyer F on mène nne perpen- ^ diculairc FP à la tangente MT , le pied’P de cette perpendiculaire se trouve sur la perpendiculaire OY élevée sui- l’axe par le sommet de la parabole : donc le point P est le milieu de MT, car l’angle MTF =z FMT. ^ '
De là ce théorème : ‘ ‘
THÉORÈME,
Si par tons les poinlsdu plan d’une parabole on mène àlacourbe des tangentes, tellea que Mï, le point milieu P de la partie de chaque tangente eomprise entre l'axe et ,Ia courbe se Uvttre sur. la perpcudiculaite èleyée sur l'aM par lé sommet de ta parabole.
La figttre PFQN ëtaot uo r«^ng^e,' et la <kohe PF étant égale et parallèle à QN , la droite PQ est parallèle à l’axe.' . ;
Il est facile de reconnaître en même teftips que le point F est le milieu de TN. ^ \
Donc :
THÉORÈME
Dans toute parabole la tangente et la normale en un même point de la courbe rencontrent l’axe principal en deux points à égale distance du foyer. '
On peut déjà conclure de là que
La longueur de la normale au sommet de la paralMle est égale é te mMMt du paramètre. ‘ ^ » . • ,
Ce qui est également vrai pour l’ellipse et pour l’hyperbole: car la distance ON étant généralement exprimée par
au sommet de la couribe on a-x'=:0, et par conséquent aro=p. * . , ^ .... 0 •
269. D’après un principe de physique confirmé à chaque instant par l’expérience , lorsqu’un corps élastique en mouve* ment vient frapper une surface dans une certaîne diréction^ ce corps se réfléchit de Tantre côté de la perpendteolaire élév^ à la surface au.point de conuct , en restant dans le même plan perpendiculaire, et hiisant de Chaque côté de cette normale, des angles égaux , qu’on appelle angle tTineidenee , angle de réflexion.
Si donc un point matériel , en mouvement direct, se dirige d'on foyer d’unè ellipse vers un poiAt quelconque de la courbe, la direction du mouvement réfléchi sera telle , que le point matériel ira passer constamment par l’autre foyer (267), i et si l'on ' conçoit au point F (fig. 109) un foyer de chaleur, un boulet chauffé au rouge ; par exemple , et au point F* un corps inflammable , de l’amadon , ce corps s'enflammera conme<s’il ^t placé au foyer Fi Les différents points de l’intérieur de la eohrbe se ressentiront sans doute du rayonnement du calorique i^mais le point F’ sera le seul où viendront se concentrer tohsles rayons émanés du point F. Il en serait de même des rayonesonores, etc.
■' Dans l’hyperbole, les raydhs émanés d’un foyer sont réfiériiîS , ^
dans riniérieur de lü courbe, suivant la dirèclion de droites, qui, prolongées en sens contraire , iraient concourir à l'autre foyer. -
Pour la parabole ; tous lé» rayons parallèles à Paie vont se réfléchir au foyer.
870. Par un point donné mener une normale & une conihe du 2* degré.
Soit = 2/>x + qx^ (1) l’équation de la courbe rapportée à ses axes principaux : l’équation de la normale menée par le point «,^»sera. ,
p + qx
et les points d’intersection de la normale et de la courbe seront déterminés par les valeurs de x et de 'y résultant de l’élimination entre les' équations (1) et (2),
L’équation (2) pent se mettre sou» la forme ' '
a?» (1 + Ç) + (P — y — Pqo! — pp = 0. («)
On y recmanatt une hyperbole équilatère dont les asymptotes , parallèles aux axes principaux , ont pour éclations
Pq
L’équation (3) étant satisfaite par x — n, p^ Fhyperbole passe par, le point donné. On connaît les asymptotes et un point de la courbe, on pourra donc la construire , et par conséquent déterminer les points d’intersection de la normale et de la 'Courbe donnée.
. . 87i . Cds particuliers. Si le point donné est sur l’axe principal transverse , |3 = 0 , et l’équation (S) , réduite à . .y [«(1 + 9) + (?—«)] = 0,
est saitsfoite par = 0 , axe transverse de la courbe, et par V***"’ *(i + ?) + (p— “)=0j • ,
. équation d’une droite perpendiculaire 'à cet axe; ce qu’on pon- •jifedt pnévob d’avance à cause de la symétrie de la courbe.
872. Si la courbe donnée est une parabole , les équations des ^asymptotes deviennent y = 0, x=«c — p, et le problème n’a que trois solutions; ce qu’on rqf^nuaitra plus facilement en éliminant directement entre les équaUcNOS (1) et (2).
L’éqnation (2) donne
— Pyar 4- |3p
et substituant cette valeur dans l’cquation (1) , on obtient , toute réduction faite ,
ip^l
Cette équation du quatrième degré se réduit à une équation du troisième dans le cas de la parabole, c’est-à-dire si f = 0. ,
975. On peut encore observer que toutes les normales à la circonférence passent par le centre. £n effet , dans ce cas particulier q — — 1, et l’équation (8) , réduite à
(p — a)y + (* (j? — 7>)=0, est satisfaite par « =/», y = 0, quels que soient a et p.
974. En général le problème de mener une normale à une courbe du deuxième degré conduit à la résolution d’une équation du quatrième degré , telle que (G) , laquelle aura toujours an moins deux racines réelles , puisque le dernier terme de l’équation (G) est essentiellement négatif.
Au surplus , on peut toujours ramener la difiiculté à la résolution d’une équation du troisième degré , au moyen de l’artifice de calcul suivant.
Les points d’intersection de la normale cherchée et de la courbe appartiennent à la fois aux deux courbes
= + qa^ (1)
xy (i-{-q)-}-(p—a.)y — fiqx — ppe=:0. . (2)
Multiplions la première par un coefficient constant indéterminé m, et ajoutons au produit la deuxième équation 1 il viendra
(M) m^+xy{l q. q~) mqx^+(p~»)y- (Py-f- 2wip)*-pp=.0,
équation du deuxième degré , qui ponra représenter tonte antre ligne de ce degré passant par les mêmes points d’intersection.
^ . Si l’on vent que cette équation représente l’ensemble de deux lignes droites , il faut et il suffit que les coefficients satisfassent à la relation L == 0 , ou
