AE* + CD2 BDE + F(B* — 4AC

substituant dans cette équation les valeurs A =:m, B=(l ^ q), C=z—mq, D=(;»— a), E=: — (Pq+imp), F=— Pp, on trouvera, toute réduction faite,

Upm^+ { ^V+(p-“) C(/>-h‘)9+2p] I wi-PCl-H) (p+îa)=0 ,

équation du 3* degré, débarrassée de son second terme. Si donc on peut résoudre cette équation , on ramènera l’équation (M) au système de deux droites , que l’on construira sans dilbculté : les points d’intersection de ces droites et de la courbe proposée seront les points où la normale demandée doit rencontrer la courbe.

S75. L’équation précédente (G) iaura , ainsi qu’il a été dit précédemment, au moins deux valeurs réelles : par conséquent, le problème admet toujours au moins deux solutions, et il peut en avoir trois , et le plus généralement quatre. On peut se demander de déterminer tur quelle ligne doit te trouver le point donné, pour que le problème n’admette que troi* ou deux toluliont , conditions qui exigent que des quatre racines de l’équation (G) deux soient réelles et inégales , et les deux autres réelles et égales , ou deux imaginaires et deux réelles et inégales. Enfin le problème n’aurait réellement qu’une solution si les deux racines réelles de ce dernier cas étaient égales entre elles ; ce qui ne peut convenir qu’au sommet de la parabole.

276. Mais , sans analyser ce problème particulier, nous simplifierons encore la question en cherebant pour quelle position particulière du point donné on ne peut mener que deux normales à la parabole.

Dans ce cas particulier, l’équation (G), dans laquelle on fait 9=0, devient, après réduction,

ou x^~\-i(p — — a)*lP — -^=0.

Or on sait qu’une équation du 3* degré Qa^-f-R=0

a deux de ses racines égales loi’sque la relation

3 (PQ - 0R)2 — 2P (rQ-9R)(2Pï — 6Q)-f Q(2P^ — 6Q)2= 0

est satisfaite. Sabstitoaot dans cettte relaüon à P, Q, R, les va> leurs

P = p — «, Q=z(p«)2, R = on trouve, après avoir réduit,

équation qui est satisfaite soit par ^ 0, soit par

8 (« — p)3 — npp^ = 0. (D)

La première est l’équation de l’axe de la parabole; la deuxième, une courbe du 8* degré que nous retrouverons bientèt. Le problème n’aura donc que deux solations lorsque le point donné se trouvera sur l’axe , ce qu’on savait déjà , ou sur la courbe (D) .