DE COURBURE, DÉVELOPPÉES ET DÉVELOPPANTES DES COURBES DU DEGRÉ

S77. Lorsqu’une droite AB ( /ig. 111 ) est tangente à deux ou plusieurs courbes en un même point M, ces courbes sont tangentes entre elles , intérieurement on extérieurement, selon que ces courbes, dans les environs du point de contact, tournent leurs concavités dans le même sens ou en sens contraire : ainsi les courbes GMD, EMF, se touchent intérieurement , et les courbes GMD, C'M'D’, extérieurement.

II est évident alors que toutes ces courbes qui ont même tangente au point MN' n’ont aussi eu ce même point qu’une seule et même normale NMN'.

878. Mais deux lignes courbes peuvent avoir entre dles uu contact plus ou moins intime, selon la nature de ces courbes ; et l’on dit qu’il y a osculation entre ces courbes lorsque le contact est aussi intime qu’il peut l’être, d’après la nature de ces courbes et la forme de leurs équations. Soient, pour Gxer les idées, B, A, C(fig. 11 2), trois points très rapprochés d’une courbe : comme par œs trois points ou ne peut ibire passer qu’nae seule cir-!conférence , il s’ensuit qu'une circonférence osculatrioe ne peut avoir avec la courbe plus de trois points communs, ou, pour nom

servir de l’expression reçue , que deux éléments communs ; AB7' AG. De plus, comme par trois points on ne peut faire passer qu’une seule circonférence , on en conclut que deux circonférences ne peuvent avoir qu’un élément commun , ou un simple contact , et enfin qu’on pourra juger de la courbure d’une ligne/ en un point donné A, par la courbure du cercle qui aurait avec la courbe en ce point le contact le plus intime, et que, pour cette raison, on nomme le cercle otculateur.

279. Pour déterminer le centre de ce cercle , il suffirait de prendre à droite et à gauche du point A deux points B et G aussi rapprochés que possible; puis, par le milieu des cordes AB , AC, d’élever les perpendiculaires MO, NO :1e point de concours 0 serait le centre de courbure , et OA le rayon de courbure. ‘

Si l’on conçoit plusieurs cerclés tangeuts à la même droite j au même point, celui qui s’écartera le moins de la tangente aux environs du point de contact aura la coùrbure la moins grande : les courbures de ces cercles sont inversement proportionnelles à leurs rayons , et l’on peut dire que la ligne droite est une circonférence d’un rayon infiniment grand , comme un point est une circonférence d’un rayon nul.

280. Soient toujours B,A,C,troIs points très rapprochés d’une^ courbe, au point que les lignes BA , AC, se confondent avec les tangentes aux points B et A . L’angle TAT' se nomme angle de contingence ou angle de courbure- On conçoit en effet que , si le point C est situé en C' au dessus on au dessous de AC, l’angle TAT' diminue on augmente ; et cet angle est égal à l’angle MON , ainsi qu’il est facile de s’en convaincré dans le quadrilatère MANO , dans lequel les angles en M et en N sont droits. Or , comme les points B , A , C , sont supposés très rapprochés , les perpendiculaires MO, NO, se confondent avec les normales correspondantes aux éléments BA, AC, et l’on peut dire que le centre de courbure en un point A est le point de rencontre de la normale en ce point , et de la normale consécutive la plus rapprochée. Le rayon de courbure n’est autre chose que la longueur de la normale elle - même comprise entre le point A et le point dfimérsection des deux normales , et l’angle de courbure, l'angle des normales elles-mêmes.

•-28I. (bï conçoit que pour chaque point A, A', A*., (fig. 113),

de la courbe MN , le ceotr» 0 de couri)are change ; fouaces points 0, 0', 0', se trouvent sur une nouvelle courbe PQ, et cos courbes sont telles , que tous les rayons de courbure sont à la fois des normales à MN et des tangentes à PQ.

^ De plus , si l’on conçoit un fil enroulé le long de la courbe PQ , l’extrémité de ce fil en se déroulant tracera la courbe La courbe PQ s’appelle, pour cette raison , la développée de MN, qui prend le noni de développante.

Un exemple bien simple fera concevoir mieux cette dé^nition. ’ =* i > '

Soit un quadrilatère ABCD ( fig. iik ) miveloppé d’un fil , dont les deux bouts se réunissent en A.

Supposons qu’un bout restant fixe , l'autre se déroule daàs le plan de la figure : l’extrémité A décrira d’abord l’arc AI, dont le centre est en B, et qui a pour rayon le côté BA; lorsque le fil arrive en I, sur la direction du côté BC, le centre du mouvement change et vient en G ; alors l’extrémité du fil décrit l’arc IH , et le fayon est égal à BA -j- BC ; au point H, le centre se déplace de nouveau et vient en D , et l’arc HK est décrit avec un rayon égal à DC -)-CB 4- BA , et ainsi de suite jusqu’à l’entier déroulement du fil. ^

La courbe AÏHKL , formée par la réunion de quatre arcs de cercle de rayons différents , est la développante du quadrilatère ABCD. Les points B, C, D, A, sont les centres de courbure} BA , CB -j- BA , DC -j-CB-j- BA , etc. , les rayons de <»nâ>ure.

Au lieu d’un polygone ou peut concevoir pour développée une courbe quelconque (fig. 115) ABC , une circonférence par exemple , que l'on supposera divisée, en un nombre assez grand de parties égales pour que les cordes puissent sans erreur seu- sible être prises pour les arcs , et par un développement semblable au précédent on arriverait à la développante AIDK.

283. Ainsi lorsque la développée est donnée , il t»t facile de décrire la développante par un mouvement continu à l’aide dù ' déroulement d’un fil : si donc on pouvait trouver la développée d’une courbe donnée , il serait facile de la construire par ce moyen. La recherche de la développée d’une courbe quelconque par la méthode générale sortirait des bornes de cet ouvrage ; il nous suffira pour le moment d’apjdiquer cette théorie aux courbes du deuxième degré , pour chacune desquelles nous dé-

terminerons successivement la développée en considérant cette courbe comme le-lieu géométrique des points d’intersection des normales les plus rapprochées entre elles.

283. Développée et rayon de courbure de VelUpte. Soit l’équation de l’ellipse rapportée à son centre et à ses axes

On trouvera facilement, d’après ce qui précède (26S), pour les éqqgtions des normales ,

an point (ar», 7»), ^ ^ = g^(a-ar')j

; au point («*, yO , p — x"). ’ .

Ces équations des normales prennent la forme

Cherchant les coordonnées (Jf leur point d’intersection , d’après les formules connues on trouvera

A^ \y" id —fsc" ' '

et , à cause de

y’jd'. = I [Cr" — /) (a^' + ar') — {y" -J- y) (a?" — ar’)] ,

en divisant le numérateur et le dénominateur par {id' — •r'), on obtiendra

Îv’’ — y’ \

Mais (id, y'), (id', y") , étant deux points de la courbe , on a les relations A»/'* + BV'* = A*B* , A*y'* + BV* = A*B* { d’où l’on lire , par soustraction ,

A* Cr" + /) (>'’ - y') + B* (aî" + ar'j («" - = 0

Pt y' — y ^ B*(<r»-f-ar')

A* cr" 4- y) '

et parcon$éqaent

=+(-TP-j I

(g»" + arp ' '

Telle est la valeur de l’abscisse du point de rencoUtre de deux normales quelconques, valeur qui , à la limite, ç’est-à-dire pour ar" = , y" = y', devient ^ '

et représente l’abscisse du point de rencontre de lA normale au point (ar'j y') avec la normale la plus voisine.

On aura de même pour l’ordonnée

Aî-P^j '

et, à la limite.

Avy(y"+y)

hp2(a;" + *')* + AMy +/)*]('