AV' /A^-P
Des valeurs précédentes de a et ^ on tire
substituant cte valeurs dans l’équation de l’ellipse -AV2 + BV* = A2B2,
on aura
lieu géométrique des points de rencontre des normales consécutives 7)u de la développée de l’ellipse. Cette courbe a à peu près la forme symétrique abcdfÛQ. 109),
8S4. Si l’on veut obtenir le rayon de courbure, c'est-à^djre la distance entre le point (»', y') et le point de rencontre de la
normale en ce point et de la normale voisine'^ en’ appelant p celte distance , on aura la relation connue
et substituant les valeprs de a et on obtiendra
Or , de l’équation de la normale ^
en faisant p 0, on tire
BV
et pour le carré de la longueur de la normale
N^=zW- 0^? + y^’= g^'! + ,
et,^ à cause de BV^= . BV^ = B* (A^B^ — A*^^),
en faisant
enfin, à cause de AV^ = A^ ( A^B* -1 BV’^) + on trouvera pour l’expression de la normale en fonction de x'
En snbsthnant dans les valeurs de — « et j' — p ci-dessus,
pour les coefficients de x’ et y, leurs valeurs en fonction de la
normale, on aura
d’où
c/-i5)=p(iyi
d’où P =
Donc :
THÉORÈME
Le rayonde ooiirbuTG en un point quelconque del’rflipseestégalauculwde!®-' normale divisé par le carré du demi-paramètre.
2C8. La tangente de l’angle que fait avec la tangente le rayon vecteur mené du foyer est , comme on sait (221) ,
iangT = ^,
et par conséquent ^
■" kn-iang^f I / , B' ’
et, à cause de d’où
et enfin Donc:
+c^« = N2AS
sinT — ,
NA A • sin T '
Le rayon de courbure en un point quelconque de l’ellipse est égal au paramètre niullipiié par le enbe de la cosécante de l’angle que fait avec la tangente en ce point le rayon vecteur mené du foyer.
280. Développée et rayon de courbure de l’hyperbole. Il suffit de substituer — B* à B^ dans les équations D , R et R', et l’on obtiendra pour développée
Les relations R et R’ ne changeant pas , on en conclut les mêmes théorèmes pour l’hyperbole.
287, Développée et rayon de eourhurede la parabole. L’équation de la parabole rapportée à son axe principal , l’origine au sommet de la courbe, étant
les équations des normales sont au point {x', y)
au point (*», jj
Ou
On trouvera , par un calcul semblable au précédent ,
et à cause de
Mais des équations y"^z=:ipx", y* = 2/>ar' , on tire
etdelà
et par conséquent « = ;, + 1 [(y |y)2 ^ ar»)].
Ip
A la limite , c’est-à-dire pour = y , y = y ,
et=:p.
d’où l’on tire « =2 îldL^fî! — ® J. gy et y = - , ;
ISS
Sobslituant la valeur de (« — dans l’équation de la normale
on obtient p =
Ipy' — Iwj* — P/ * (p — «) y’
Sp '
Substituant ces valeurs de »* et y' dans Féquation de la parabole y*^ = 3/w' , on trouve
f. J. /IV
et
enfin l’équation de la développée
équation déjà trouvée (276). Cette courbe a à peu près la forme oioCfig.llO). ■ “
5188. Quant au rayon de courbure , à cause de a sep -{on a
(«— »'}=(p-|-8y — jj')c=(p-j-2»';, p-y>=-t ^!2±|î!±f^ = -^zp4.M)=-^{p+^y, et par conséquent la valeur du rayon de courbure • P» s: (« - (j9 - ÿ’)«=: (p + 2ar»y = ~ *
{p-\- 2jK)«
.4 . I,ui ■ , •
Si dans l’équation
on fait p^seOfon tire «•“üT'Œp, ^ par omséquem la lonjg;Ueur de la normale , ^
- R2 = («. — ar')*+y2 = p*+y^=^ + W=PC/’+2*^>
et de là
et enfio Dond :
Pi
THËORËHB.
Le Tsjtm de courbure de la parabole en lu point queloonque est égal au cube de la normale divisé par le carré du demi-paramètre.
S89. Si l’on cherche de même la tangente de l’angle que la tangente an point (ad, fait avec le rayon vecteur du foyer » on trouvera
d'où
tangT=t,
8iqT =
d’où‘
et
+ ^ -f 2jd »
(p4-2ad)'ï
sinT
- (p + 2ad)*
■sin* T *
enin
Donc :
sm*T
p coséc^ T.
THÉORÈME
Le rajon de courbure de la parabolé en un point qndconqne est encore égal au demi-paramètre multiplié par le cube de la ««sécante de l'angle que lUt le-rayon vecteur mené du forer avec la tangente en ce point.
1 i >9S)6'. Rayon de eouriure des courbes du deuxième degre. Le même calcul peut s’appliquer directement à l’équation gêné-
— as —
raie des sections coniques rapportées au sommet et à leurs axes principaux , - t
= ipx -}■ t
«t l’on trouvera . .
et comme le carré de la normale p= {p 4-g*') *-J- y'^,
donc I p — -^, I
première propriété du rayon de courLure. " • ’ •
5l8i. On obtiendra de même
et p=pcoséc’T.
On peut donc établir les deux théorèmes généraux suivants qui s’appliquent à tontes les courbes du deuxième degré.
TBÉORËME. ‘
Dan> tonte courbe dn 3* dc)7é le rayon de courbure en nn point quekonque est Cgal au cube de la normale dirisé par le carré du deml-paramkre.
" THÉORÈME. '*• ' ;
Dans tonte courbe du 3* degré le rayon de conrbare en un point quddonqne est égal an demi-paramètre multiplié par le cube de la cosécantc de l’angle que tait le rayon recteur du foyer avec la tangente en ce point.
PROPKIÉTÈ DES SEGMENTS. .
THÉORÈME L
803. Dans toute eouibe du 3* degré le praduit des mdonnées oorrespendantes b une absdsse quelconque est dans un rapport constant avec le produit des distances du pied de cette ordonnée aux points de rencontre de la courbe avec l’au des abscisses. --
En effet , soit l’équation générale des courbes du deuxième degré rapportée à des axes quelconques, l’origine étant en un point quelconque du plan , ■ >
Ay2 -f Ery.-j- Cit? + Dy + E® 4. F = 0, ou , ordonnant par rapport à y ,
Ay^4 (B® -1- D) y -f- C®2 4 E® -}. F = 0.
Le produit P des ordonnées correspondantes à une abscisse quelconque ® sera ’ ' (
et désignant par x',x’, les abscisses relatives à 9 = 0, c'est* â-dire les racines de l’équation
on aura
Or, ar — x', » — x* , abstraction faite dn signe, représentent les distances du pied de l’ordonnée aux points où l’axe des • X rencontre la courbe, et, G et A étant des quantités constantes,
on a , . " .
- : ITT n: =3 T , rapport constant.
On aura donc (fig. 116) ^ ‘
