QUADRATURE DES COURBES DU DEUXIÈME DEGRÉ

502. Proposons-nous maintenant de déterminer Paire des courbes du deuxième degré , et plus particulièrement l’aire du segment d’une de ces courbes compris entre un diamètre quelconque et deux onlonnées parallèles à soo cotyngué*

Quadrature de P ellipse. Soit à déterminer l’aire d’un segment d’ellipse com|Tris entre un diamètre Aa (fig. 126) , et deux ordonnées PN, P'N', parallèles à stm conjugué. Sur Aa, comme diamètre , si l’on décrit une circonférenoe conèentrique à l’ellipse , et qu’on inscrive dans le segment d’ellipse une portion de polygone NRR'N'; puis, ayant mené les ordonnées parallèles NP, RS, R'S', N'P’, si l’on élève les ordonnées du cercle PM, SH, STI', P'M', en joignant MH, HIP, H'M', on aura jt. comparer les trapèzes obliques , tels que PNRS , aux trapèzes droits correspondants , tels que MPSH.

Du point S abaissant SG perpendiculaire à PN , on auia ■ trapèze PNRS = ^ (PN + RS) SP . sin GPS ,' • • ' et pour le trapèze droit correspondant.

trapèze MPSH = | (PM + HS) PS.'

Le rapport de ces deux surfaces est

PN+RS y' + y-,;,.

en appelant 6 l’angle des diamètres conjugués ; y', y*, et Y', Y*, les ordonnées PN, RS, et PM, HS. Or les équations du cercle et de l’eUipse sont

y = y=;=iz(/F-p, , ..

d ou I on lire ^ ,

Â' et B' étant les demi-diamètres conjugués , et par conséquent

donc le rapport des trapèzes , et par conséquent le rapport des segments elliptique et circulaire « et S, seront égaux à ^ sin 0 ;

donc

Si donc on compare l’ellipse entière au cercle , en désignant l’aire de l'ellipse par £ , et par irA'^ l’aire du cercle , on aura ' £ = nA'B' sin 0 ,

et, par conséquent aussi , A et B étant les deux axes ,

E ~ ttAB.

Donc : ' . .

THÉORÈME

L’aire'de l’dlipse est égale à faire d'ua cercle qui aurait pour diamètre une moyenne proporUonneUe entre les axes de ia courbe.

On peut inetlrc encore la valeur 'de E sous la forme "

Donc :

( ~ THÉORÈME. ' " '

La surface de l’eliipse est égaie à 1a couronne comprise entre deux cercles coo' «ntriques dont les ^amètres sont la demi-somme et la demi-dilférence des axes.