RS
que les ordonnées d’une hyperbole quelconque sont proporlionnelles aux ordonnées eorrepondaules de l’hyperbole équilatère construite sur le diamètre transversc. Cherchons donc la quadrature de l’hyperbole équilatère , et prenons pour unité de surface la puissance de cette hyperbole : l’équation de la courbe rapportée à ses asymptotes sera xy=zi.
Or, il est évident qu’on connaîtrait l’aire du segment hyperbolique NBM (üg. 127), si l’on pouvait déterminer l’aire de la figure MPQN comprise entre la courbe , une asymptote AX , et les deux ordonnées MP, NQ , parallèles à l’autre asymptote.
Pour cela, soit pris’ AC = 1 etAP = ar. Divisons CP en un nombre quelconque de parties , que nous ne supposons pas égales et élevons aux points de division les ordonnées C'B' , C"B , etc. ; formons enfin les rectangles CBC'D', C'B'D*C" , etc.: plus les points C, C',C", etc., seront rapprochés entre eux, plus aussi la somme des rectangles décroîtra en se rapprochant de l’aire hyperbolique CBMP , à laquelle elle finira par être
Si l’on désigne par 1, x', x", x'" , etc. , les abaisses AC , AG', AC" AC"' , etc. , les ordonnées correspondantes seront ?
5» af* #*' ■
on aura , par conséquent , ^
rectangle CBD'C’ = CC X CB = (i* - 1 ) X 1 = *' -* » rectangle ÜB-IPC* = C'C'' X C'B' =r(*'’-a'') X j,=
rectangle C'E^D'^C* = C"C'" XC''B"=»C*^^»*)Xÿ=ÿ
et ainsi de suite.. ^ '
Or, U est permis de supposer que les abscisses 1, a»*, oat
été prises en progression géométrique, et alors le premier terme étant 1 , et la raison »' , on aura ar* = *'* , af" =:»'* , etc. ; ^ ten admettant « points de division entre C et P, » =' x"* ; par conséquent aussi tous les rectangles deviennent égaux à *' — 1.
En ajoutant d’abord les deux premiers rectangles , ensuite les trois premiers , puis les quatre premiers , et ainsi de suite , les sommes seront donc 2 (*' ^,1)» 3 (x[ 1) , 4 C»' — 1), etc.
Ainsi, les abscisses étant ^ ;
i,x',x'\ ar'Sa?'*,elc.,«'",
— seules aires recuogalaires ainsi prises seront exprimées par , - ,»
0, (j?* — 1) , î(jf‘ ~ I) , — 1) , — 1), elc. , «(»* — 1):
d’où l’on voit que abscisses fonnent nne progi^ssioh géométrique commençant par l’unité , et les aires une progression commençant par aéro. Et comme ce raisonnement est indépendant du nnmbre de divisions faites sur CP , si donc on suppose n = 00 , op peut .conclure que :
' -I.C THÉORÈME. -
L’aiM'^pertiriiqae comptée à partir de l’aliscisse ^ale à ruiiité et terminée par une pedoonée quetconque est le lo0arithme de ^abscisse finale , les asymptotes étant pdUn ponr axes!
îSoit £ la base iuconue de ce système de logarithme on aura
'et à cause de^ , x, d’où j?'—
' inÔ'--.)- ' .
* Or, on sait que la base d’un système logarithmique est le nombre qui , élevé à la puissauce 1 , reproduit ce nombre luiméme : donc
.d’où ; . Xî=3 A et n — l) 1, lorsqu’on fera n = ». De celte dernière équation l'on tire
et développant , d’après la formule connue,
enfin , en faisant » == », on trouve »
+r^ + irb +
lorsqu’on prend un nombre eonven^le de termes de la série. Représentant ce nombre par e, on aura
aire fiCPM (AP =: x) = e' :r: f x.
Gooal'
•^^VSSÜSî,
On donne à ce système de logarithmes le nom do logariihmu hyperbolique», ou logarithmes du nom'deNapier (Ecossais) , à qui l’on attribue l’invention des logarithmes.
Quant à l’aire NQGB, correspondante à une abscisse AQ, moinr dre que AC = 1 , on aura, d’après le même raisonnement ,
aire hyperbolique NQCB = l’y ; et , à cause de l’ëquation xy — \,
aire NQCB = l’i = — l’ar.
Ainsi, il sufTiràde regarder comme négatives les aires placée» à gauche de CB telle’, que AG = 1. , . ; • ‘
504. Soit généralement xy ==. l’équation^ d’une hyperbole quelconque rapportée à ses asymptotes AX, AY , faisant entre elles un angle 9 (fig. 128). .■ , ^
Au point A menons AY' perpendiculaire à AX , et imaginons qu’on ait décrit sur les axes rectangulaires AX , AY' , comme asymptotes , l’hyperbole équilatèreary=:l. Soit AC = 1, AP=a?, et menons les ordonnées correspondantes aux deux courbes. On démontrera facilement, comme au n* 601, que les aires hy-^ perboliqnes MCPN', BCPN, sont dans le même rapport que les ordonnées correspondantes aux mêmes abscisses mulüpliées par le sinus de l’inclinaison dés ordonnées obliques : on aura donc, en désignant ces segments par S et a,
- = sin 9 , , ^
et, par conséquent, Srs m^sinôl*#, ■ ou, enfin, . iS = L«,
en considérant Lp comme le logarithme de l’abscisse' dans dn système dont le module est wi* sin 9l ’• ' ' ''
508. Quadrature de la parabole. Soit OMP (fig* 129)^un pàraboliqite , terminé par le diamètre OX et par l’ordonnée MP, parallèle à la tangente OY , dont il s’agit d’évaluer la surface. ^ '
Inscrivons dans ce segment une portion de polygone OM*M’M , et menons par les sommets les ordonnées M'P% M*P*, et les tangentes MT, M'T', M» T». Ces tangentes déterminent par leurs
Inlcréectlonâ successives des triangles TRT', ‘T'R'T", qu’il s’agit de comparer avec les trapèzes correspondants PMPM', P'M'M'P*.
Du point R et du point I , milieu de la corde MM' , abaissant sur le diamètre OX les perpendiculaires RQ IH , ensuite IK parallèle aux ordonnées , et PL perpendiculaire à M'P', on aura
triangle TRT'=J TT'. RQ .
trtpèxe PMSrP’ = PLssIKXPI^IKXPP* LP’P=tPP^IH.
Màis MT étant la tangente au point M , on a OT = OP , et de même OT'= OP' : donc PP'ssTT'. De plus, les points R et I sont sur le diamètre IR parallèle à OX : donc RQ = IH, et par conséquent le trapèze est double du triangle. On démontrerait de la même manière que tous les triangles sont la moitié des trapèzes correspondants : par conséquent la somme des triangles est la moitié de la somme des trapèzes , quel que soit le nombre des côtés du polygone MM'M'.
Il s’ensuit que le segment parabolique extérieur TOM ^ limite des triangles , est la moitié du segment parabolique OMP , limite des trapèzes , . et par conséquent ,1e- segment parabolique OMP est les' deux tiers du triangle rectiligne TMP ; et ce triangle étant équivalent au parallélogramme OPMN , qui a même hauteur et dont la base OP est la moitié de TP , on en conclut : ,
THÉORÈME
Un segment parabolique compris entre un diainËtre et une ordonnée parallèle è la tangente à rextrâniié de c» diamètre est les deux tiers du parallélogramme construit sur les coordonnées du point extrême du segmenk
^pplicaiiont. ' •
S06. Dans la pratique on emploie souvent le procédé suivant pour construire une courbe qui a une assez grande ressemblance avec l’ellipse. . . •
-• SurÂB (fig. 160), axe transverse de la courbe, divisée en trois parties égaies aux points G et.D, on décrit ies cercles GA, DB, qui se coupent mutuellement aux points M et N. De ces points , comme f centres , avec les nnyons MGG = MDH , NGI = NDK , on décrit des arcs GH , IK, qui , avec les arcs GAI, HBR , complèleut une courbe continue , composée de quatre arcs de cercle
Digitiz'
qui se, raccordent. ( Deux arcs sont dits se raccorder lorsqu’ils ont la même tangente au point de rencontre.) ' .
Déterminer la différence des aires de cette ellipse à qnatre centres, de l’elUpse régulière dont les axes serairait AB, OE, etenOn de l’ellipse régüUète dont les axes seraient AB et 3/4 AB.
En désignant par 3r la longueur AB , on trouvera facilement pour la surface des trois courbes
507. Inscrire dans un paraUélogramme donné une ellipse d’une surface déterminée.
En appelant 2a, 2i, les diagonales du parallélogramme , et la surface donnée , a? et y étant les deux diamètres conjugués dirigés suivant ces diagonales, on aura les relations (240) (302)
•aty =
sinS
Cl)
e désignant l’angle' des diagonales'.
Ces diamètres conjugués seront donc les coordonnées des points communs à l’ellipse (1) et à l’hyperbole (2) rapportée aux diagonales comme asymptotes.
• Mais on peut les déterminer plus simplement par l’intersection de l’ellipse (1) et d’uue droite , ainsi qu’il suit ,
Multipliant les deux membres de l’équation (2) par ^ , on a Zxy __ 2tra^ '
~aF ab sin 9 ' '
et ajoutant les équations (1) et (8) , on trouve , toute réduction
faite',
‘T^oisinô’
équations de deux lignes droites , parallèles à un cdté du parallélogramme , puisque les paramètres
1m^ ah sin 9
■ ab sin 9
sont proportionnels aux demi-diagonales a et b.
308. Étant donnés un parallélogramme et nne droite, déterminer graphl(p]e> ment les points d’intersection de la droite et de i'eilipse inscrite, équiraiente à une eiiipse donnée.
Connaissant la surface de l’ellipse inscrite , on déterminera (S07) les diamètres conjugués dirigés suivant les diagonales par i’inlerseclion d’une ellipse dont deux diamètres conjugués sont connus [et dont, par conséquent, on pourra trouver graphiquement les axes et les foyers (236)] et d'une droite, que l’on construira aussi graphiquement. Il n'est pas nécessaire pour cela que l’ellipse circonscrite soit construite (151).
En appliquant une seconde fois la même construction à l’ellipse inscrite et à la droite donnée, le problème sera résolu.
Nous engageons le lecteur à s’exercer en fabant l’épure de ce
Inscrire dans un parallélogramme dimné une dlipse dont la surface wit la plus grande possible.
‘ X et y désignant les demi-diamètres dirigés suivant les diagonales 2a , 2è , et S la surface mconnae de l’ellipse demandée, on aura les deux équations . .
rrary sin ®î=:S , ' ' * (^)
e étant l’angle des diagonales.
Substituant dans l'équation (1) la valeurs de y tirée de là seconde , on aura , toute réduction faite ,
sin* 9
d’où
’ sin 8
|/nVA*sin*e ùS*, .
et par conséquent la plus grande valeur de S sera
Ttah sin 0
et les demi-diamètres conjugués seront
" = ^=Vï
d’où Ton voit que l’ellipse demandée doit toucher les cétés du parallélogramme en leur milieu.
509. Étant données denx paraboles égales ayant. lenr sommet et leur foyer sur la même droite, par nn point quelconque de la parabole Intérieure on mène à cette courbe une tangente, qui coupe la parabole extâieure en deux points ; déterminer l'aire du segment parabolique ainsi formé.
Soit prise pour axe des abscisses la droite qui passe par les sommets et les foyers : en désignant par a la distance ÂA' ( fig. 131 ) des sommets , et les courbes étant rapportées à des axes rectangulaires , on aura pour leurs équations
I Y* = 2/>X , parabole extérieure ,
= 2/>(X — a), parabole intérieure.
La tangente RTS en un point T (a , p) de la courbe intérieure aura pour équation
ou yz=^-x-{-p[ct~-ia)-,
et comme le point ( « , ^ ) est un point de la parabole intérieure, on déterminera « en |3 par la relation
P‘ = 2p(tc — a), ;
d’où
-f a et
Par conséquent Téquation de la tangente BTS sera ‘ — 2/>a).
Les diamètres d’une parabole étant parallèles à l’axe , le diamètre dé la parabole extérieure, passant par le point T , aura pour équation y ^ , et rencontrera la courbe en qp point I ,
dont les coordonnées seront, Çp, ^ : par, conséquent IT sera égal à ....
D’ailleurs , en éliminant j; entre les équations
y2 = 2p®, + î C|5*— 2pa),
pour obtenir l’ordonnée du point de rencontre R de la tan^nte et de la parabole extérieure , on trouve
RP ou y — P s 2po‘-
Or, le segment parabolique RIS , double du segment RIT , a pour expression de son aire
hx.RP = Ja.K2^:
donc la valeur du segment parabolique est indépendant des coordonnées du point de tangence ; elle sera donc la même, en quelque point de la parabole intérieure que la tangente soit menée. *
Ce segment est donc égal aux 2/8 du rectangle C'B'B'C', 'qui a pour cêtés la distance des sommets et la longueur de la tangente perpendiculaire à l’axe au sommet de la courbe intérieure.
