DE LA SIMILITUDE DES COURBES DU 2« DEGRÉ

SiO. Jusqu’ici nous nous sommes occupés exclusivement de la forme absolue des courbes du deuxième degré ; il s’agit maintenant de comparer entre elles les courbes de même genre , et de déterminer les cai^ctères auxquels on . reconnaît que ces courbes sont de même fbme , c’est-à-dire sont seinblables.

Deux ligures gécnnétriques sont dites semblables lorsque tous les éléments linéaires qui les composent ont entre eux les mêmes rapports chacun 'à chacun ; et , si les angles font partie deé éléments de ces figures, il faut encore 'que les angles correspondants dans les deux figures jsoient égaux. Les lignés et les angles corresj^ndants sont dits^ homologues.

Digiti.

i by Googli

Parmi les courbes du deuxième deg^ré , les ellipses et les hyperboles ont deux éléments , qui sont les axes , d'où dé> pendent la forme et la grandeur de. ces courbes. Les paraboles, un seul élément, qui est le paramètre. On est donc conduit à établir en principe que deux ellipses ou deux hyperboles sont semblables lorsque leurs axes sont proportionnels ; et que toutes les paraboles sont semblables entre elles , comme deux cercles , espèces d’ellipses , déterminées par un seul élément , qui est le rayon. Cette vérité peut être démontrée par le raisonnement , ainsi qu’on va le voir dans la suite de ce chapitre , pour chaque genre de courbes du deuxième degré en particulier.

511. De» ellipteM 4emblablet. Deux courbes étant rapportées à un même système d’axes ou à des axes^difTérents , on désigne sous le nom de points homologues les pomts dont les coordonnées sont dans un même rapport constant. Les lignes' homologues correspondent.aux points homologues.

’ . .THÉORÈME

Lorsque deux ellipses ont leurs axes proportionnels, tontes les droites qu’on peut conceroir dans l’une sont proportionnelles aux droites homologues dans l'autre, et les ellipses sont semblables.

En effet, on peut concevoir que ces deux ellipses seront placées de manière que leur centre et leurs axes coïncidât (dg. 132) : alors , A et 6, A' et B', désignant le^jlemi-axes de ces ellipses , leurs équations seront ^

A2y2 + = A^B^ , A «y* + = .WB'î.

Soit y=zax l’équation d’une droite quelconque OmM , menée par le centre commua des deux ellipses ^ on trouvera facilement ^ AB ABa

- A'B> ' ' A'B'al