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et, par conséquent aussi > ■ ' . ■

mn B’ A'‘

' Donc : les points d’intersection des courbes par une droite ^quelconque, menés du centre commun O sont des points bomo- . logues ; donc deux cordes homologues sont dans le même rapport que les axes, et de pjus sont parallèles f et, en étendant te raisonnement à deux droites quelconques! homologues entre elles, on démontrerait de la même manière que ces-droites sont dans le même rapport que les axes. .. . ' . /

THÉORÈME

S12. Si deux elUpses sont semblables, tes paramètres, les distances focales, les distances des directrices au centre ou an sommet de la oonrbe, et en général tous les éiéments linéaires'homologues, sont entre eux comme les axes; enfin les excentricités sont égaler .. . .

En effet,.

donc

î» 1— rt»c'=I^A'*— B*^A' j/' '

donc

s- rf = - , = , y=j.„ , = g ,

donc

Les résultats préc^ents s’appliquent aux normales", sousnormales , sdtts-tangentes , rayons de courbure , et en6n aux

contours de deux ellipMs semblables. De pins, le» »egle$ qie les tan{][eBtes et normales fpnt aux points homologue» soat^ égaux.

515, La aires da aegments on d« uclenra bomologaa d’dlipta lenibla* Ma sont proportioondla aui carrés da axa.

Deux segments ou secteurs homologues étant dans le rapport des surfaces entières , on aura

S E itAB __A*i S'~E' “ rtA'B'~P*

Il suit de là que, si l’on construit sur les trois côtés d’un triangle rectangle, comme côtés homologues, trois parallélogrammes semblables, rectangles ou obliques ; et si à ces parallélogrammes on inscrit on l’on circonscrit des ellipses semblables , l’aire dq l’ellipse inscrite ou circoascrite au parallélogramme correspondant à l'hypoténuse . sera équivalente à la somme des deux autres.

514. HyperholeB $emhUJ>U». De même que pour les ellipses, on démontrerait que deux hyperboles sont semblables lorsque leurs axes sont dans le même rapport, que tons les éléments linéaires sont dans le même rapport que les axes, et que les éléments de surface sont dans le rapport des carrés de ces mêmes axes. De plus , les puissances de deux hyperboles semblable» sont entre elles comme les carrés des axes.

Deux hyperboles semblables, concentriques , et ayant les axes dirigés dans le même sens , ont les même asymptotes , et réciproquement deux hyperboles qui ont mêmes asymptotes sont semblables.

Deux hyperboles équilatères sont des courbes semblables.

Lorsque deux hyperboles semblables sont rapportées aux mêmes asymptotes, les ordonnées correspondantes à une mêoM abscisse sont dans le rapport des puissances, ou de» carrés des axes ÿ ce qti os voit facilement par les équations

si jf rr**.

jj' A'^

Il soit de là que les ordonnés décroissent proportionnrilemest à mesure que l’abscisse augmente.

Donc ' deux hyperboles semblables , rappwtëe» aux mêmes

asymptotes , sont asymptotes réciproquement l’une de l’autre. .

5IS. Paraholet temhlahles.

, . THÉORÈME. : ■ '

Deux paraboles quelconques sont deux courbes semblaWes.

En effet , si l’on conçoit ces deux courbes portées l’une sur l’autre de manière que les deux axes coïncident ainsi que leurs sommets, les équations de ces paraboles seront y = ipx , y' =

■ Soit J ase une droite quelconque' OM (fig. 188) menée du

sommet. .

On trouvera facilement, pour les coordonnées des points d in-

tersection M, wi,

2p ip

d’où

OM

Oîn |/;p/2 j yf2

> Pour un antre rayon ON, on aura de même

donc

OM ON MN 2p Om On mn 2p' ’

et, de plus, les cordes MN etmn sont parallèles. H en est de même pour deux droites quelconques homologues; et en général les éléments homologues de deux paraboles quelconques sont dans le rapport de leurs paramètres , si ces éléments sont linéaires ; et dans le rapport des carrés de ces paramètres , si l’on considère les éléments de superficie. ■ >

Et , de même que dans les ellipses et les hyperboles , les inclinaisons des tangentes et normales homologues sont égales.