OD
OB
Or, 20 étant l’angle des asymptotes, on a cos 0 = ;
donc cos ASG < cos 0 et ASG >• 9 ,
et GSG’ > 20 , c’est-à-dire que l’angle des asymptotes de l’hyperbole donnée doit être moindre que l’angle du cône.
On ferait voir , comme pour les sections elliptiques , que lef sections hyperboliques par des plans parallèles sont toutes semblables entre elles.
559. Enfin , la courbe (C) sera une parabole''’1or^qWé sin (o -4- 9/ï) =0, c’est-à-dire lorsque OX (fig. Iù2) sera parallèle à la génératrice SG, ainsi qu’on la vu précédemment ; 'lét
.ji luo*!
I >•» , ^ m’a il Ec, 710 nbaabsb
dans ce cas l’équation (C) se réduit à
, Zd sin te sin 3
y* = — r t ar ,
* cos ^
aluq
avec la condition « 2^ = 200° , ' "
d’où a c= 200° — 2P »
et sin a:=sin 2jS = 2 sin p cos P;
d’où , enfin , y^z=hd sin 2,9j?.
Le paramètre de la parabole étant égal à hd sin zp, la dir stance du foyer au point O , sommet de la courbe , sera
d sin zp = d sin P , sin p = ON . cos XON.
Donc, du point N abaissant KF perpendiculaire sur OX , le poiqt F sera le foyer; et, par conséquent encore, le foyer est le point de contact du cercle décrit du point N comme ceiltre et tadgent aux génératrices SG, SG’, et à la droite OX ; et de même HR, parallèle à OC, déterminera le pied de la directrice R.
540. Pour placer une parabole donnée sur un cône détedrainé , on construira le triangle rectangle ONF , dans lequel on connaît OF et l’angle ONF =: p ; puis élevant NS perpendiculaire à Oü, on mènera, par le point O, OS, faisant avec NS l’angle OSN=s ONF ; OS=SC sera déterminé. H suffira de con-
4«inl ssitaot 'OC ■n plan pérpeadioulaire aux génératrices
SjÇGk N ii. • 1 I - ; t I . t . ■ l'i
Les secÜQUs par des plans parallèles à nne génératrice étant des parabcties, toatea ces sections seMnt semblables.
541. En résumé , si l’on conçoit le cône et le plan sécant rétablis daiu leur situation primitive , on pourra conclure de ce qui précède ce théorème remarquable de géométrie soUde :
-ifl! 1 Î>J) . -'i: f ■ •
Pb eSne cirait, ét^ coupé par un plan dans une position déterminée, Id seeiioa est une ellipse, ou une hyperbole, ou une parabole; et, si l’on conçoit une sphèré Mgedie à la'Rdi au cdne et au plan sécant, les' foyers de 1a section se trouveront «BipéiB(idSaintMt4e laitière et du plan sécant..
» ;li •) '”,•■.11
549. Stotion du oylindré par tm plan. Si une droite SG (fig.' 4|^,jtpuaK autpqr d’une.droite fixe S4»én restant eonstamment ntéme distance , s ^eet^endrera.Qni cylindre fif()jt,.Il,ett Caoiè dç ^émpntçer que ^nie section (du cylindre par un plan qui coupe toutes- deSigénéBatiâcns est iune ellipee« Pour râla introduisons ,.dans l’équation ( C‘ ) la , distance ON = d sin P , et représentons cette distà%ce par r, l’équation deviendra ^
, 2rsing ^ , ^isin g sin («’-f» r.l ir n:
cosjS COS*^., ’ IJo'ft
. puis faisant ^ = 0, on ^obtiendra pour l’éq^qu^de la sectitut cylindrique < , ,
, y* = 2r8mgjr~sin*sup*. . •.’:i.'> i>
In Goffident de étant essentiellement négatif,' la- courbe'est une ellipse donl les axés sont • ; î;
9A=-;— == OB , ’et 2B =^ir ou le diamètre' dii cylindre.
^ déai^not par 1 l’ipçUnaisou du plan sécant sur.le plan pcr^ pédiculaire à Vaxej,.pn aura poiir l||siq’façcde|i| se9tiop cyU9r ludrique ..
E = TCr*cosI.
On démontrera aisément que les foyers situés sur OB sont les point de contact du cercle tangent aux droites SG, SG*, OX ; et l’on déterminera, comme précédemmét , les pieds des directrices R, R'.
Étant donné un cylindre et une ellipse , pour placpr l’ellipse sur le cylindre il faut que, l'un des axes étant égal au diauètre
ducyîindre, Vautre soit aa moins égal à ce même dlamètr^ En^ toutes les ellipses déterminées par des plans paraUèles
sont égales.
DES DIFFÉRENTS SYSTÈMES DE COORDO^ÉES.
Coordonnée» polaire».
S45. Au lieu de rapporter chaque droites, oq peut encore déterminer sa position de la , manière
* Soit M un point quelconque du plan (fig- iUli) ; par
déuLiné sïppos^z «ne droite PA dirigée d’-ne conque, mais d^rminée dans chaque cas évident que le point M sera déterminé si l^u ‘
PM et l’anple MP A' que cette distance fait avec la droite PA.
Le point ^-appeUe le pôle , la droite PA l’mw
PM le rayon tecteur, qui s’exprime généralement P»’' / >
MPA , rangle du rayon >• ’ ‘‘’5r8né£énéwl^n p
Remarque. L’angle «croit depuis « — 0 jusqu a « ,
le rayon p peut être ‘pris positivement ou une Jaleur particulière de? , et alora il correspond à des points
situés au-dessus ou au-dessous de l’axe lixe. ■ ’
n semblerait au premier coup d’oeil «l”* excéder èÔ0«>j toutefois si l’on suppose que te r^oh ^
d’abord se confondant avec l’axe, tourne de droite h gauc^ autour du pôle P, on concevra facilement qu’d pe“* ^ ^
tour de l’axe , des révolnüons en nombre inOm , et c est te cm d’un grand nombre de questions auxquelles ce ordonnées polaires s’applique qvec avantage , P““®P^“®" lorsqu’il s’agit d’éublir.des relations entre des disunces rapportées à un point fixe.^ . .
544. Le choix des éléments de ce système de coordoMées est aussi important que' le choix des axes rectilignes. Ordinairement le pôle est indiqué par la nature do la l’axe lorsque la question ne détermine pas sa direction , autant que possible choisir une direaion telle , que les resulUte du calcul soient plus promptement et plus faedement mis
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éridence ) et ponr cela y ayant égard aux remarques précédentes anr le choix des axes rectUignes , on prendra pour axe une des lignes de la figure géométrique dont il s’agit. '
341^. Toute éqtfalion /(/> , <u ) = 0 représente une ligne quelconque, dont on déterminerait la forme en résolvant l’équation par rapport à /> , ce qui donnerait une valeur de la forme
et en donnant à » toutes les valeurs possibles , on obtiendrait pour P, selon le degré de l’éqnation , une ou plusieurs valeurs, qni détermineraient amant de points du plan , qu’il suffirait d’unir par une ligne continue.
' 340. Réciproquement étant donnée une snhe de points formant nne Ug^e continne , on pourra exprimer par une équation al* gébriquo la relation constante qu'on découvrira entre les. variables P et U- , d’après la nature de la ligne donnée. > 7 >
347. Ou pourrait d’après cqht trouver directement les équations de la ligne droite et des courbes examinées précédemment ; mais on peut arriver plus prom^meni au même résultat à l’aide 4es formulé/ suivantes , qui serviront à passer, d’un système de ceordonnéea rectilignes a un système de coordonnées polaires > et réciproquement.
Xi, Soient le point M. (fig. 144) rapporté aux axes rectilignes OX , QV , faisant entre eux un angle YOX = 8 ; P le pôle , PA l’axe fige.} OD= a , DP =: b , les coordonnées du pèle. Par le point P menops PX' , PY', parallèles aux axes OX, OT, et faisons l’angle MPâ étant toujours représenté par» elle rayon vecteur PM par p. > ; . •
' Cela posé, ,OH = ai = Oü-f- DH a -f- PR ,
■ ‘ MH=y = RH+MR = i -l-MR.,
Le triangle MPR donne
PJJ PJJ. ^ jjjj- \
" ' ’ ^ sinMRT sinPMR “ sin MPR‘ ' , . ’
Or, ' ,sin ÀIRP ==sin 0 , sinMPB = sin (« -j-û»),
. . sin PMRsssln Y'PM= sin [8>— .(»+#»)]} et p'ar conséquent ’ - '
— S97 — Pft '
MR
sin 9 sin [9-— (« + “)} (“ :ri" ")
d’où l’on lire " '
. ^ sin o„ 8ia9
et substituant ces valeurs dans celles de a et de y, on a
sin [(9 — (* "H “)]
» Es O 4. P — T— r-
~ sin 9
sin (g -4~ “)
Si les axes primitifs sont rectangulaires , on a 9 =: 100°, et par conséquent
y ^ A ~[" P sin ( O -j- w)< (2)
Si l’axe fixe est parallèle à l’axe des abscisses primitives, a = 0 , et ' .
\ ar =E a -f- P COS » , , ^ ,
y=:i+>sin«. , ; (3)
^ .Enfin, si le pôle est à l’origiae des amrdonnées rectilignes a=0,ô = 0, et - ‘ ,w.’ . V
X~ P cos U ,
y =E P sin U. (4)
848. Réciproquement pour passer d’un système de coor-, données polaires à un système de coordonnées rectilignes, oq, déterminera p et u en fonction de ar, y, a et. 9, par le moyen des équations précédentes. ' .
Nous prendrons seulement le cas particulier oîi il s’agit de passer d’un système de coordonnées polaires à un système de coordonnées rectangulaires, l’axé des x étant parallèle à l'axe fixe , l’origne étant située en un point quelconqùe. On tire des formules (3) , . . . . . . ...
‘ P cos M — af — a V •
. psin » =sy -ir ,
Elevant au carré et ajoutant , on obtiendra
et
d’où sia
taag U :
lang U 1
cosw:
k^l-j-wng^M ' .o)*+(ÿ — 4)*’
V^ï + tan^^ — a)^-j- (y — ^
Ces formules m simplifient si as 0, i&. s 0, et deviennent
” ■ ■ ■ ' •’ “ ' AppUcationà.
849. Équation polaire de ligne droite. Soit l’équation de la ligne droite rapportée à des paramètres a et i
Si ron prend pour pôle l'origine des axes rectangulaires, et pour axe fixe l’axe des abscisses, il suffira pour passer aux coordonnées polaires de substituer les formules (ft) , «S/^cosu , y = P sin <u , ce qui donnera , toute rédaction faite, ‘ - - - ah
