SOI
b3rperbote o« nae parabole, le rapport de rexoentricité an grand axe oa à Taxe traDsverse. \ . •
Ponr ai^O, d’où l’on conclut que dans les trois
courbes la corde perpendiculaire à V axe et paeeant par le foyer est e'gale au paramètre, propriété qui , dans certaines circonstances , pourra servir à la détersaination des foyers.
5tS4. On sait que les planètes décrivent autour du soleil des courbes à peu de chose près planes et elliptiques, dont le centre du soleil est le foyer , ou , pour parler plus exactement , dont le centre du soleil est très près du foyer , en raison de la supériorité de masse de cet astre sur la somme des masses des planètes qui composent le système solaire. Dans les questions d’astronomie on a souvent besoin de rapporter au centre du soleil les distances de chaque planète , et d’exprimer par conséquent l’équation des orbites elliptiques en coordonnées polaires : les" éléments de ces orbites sont les grands axes et l’excentricité.
Soit = ' (1)
l’équation de l’orbite elliptique AMP (fig. 346), rapportée à son centre et à ses axes : on a ^
d’où B* = A*(1 — e^); .
et , par conséquent, l’équatiou de l’orbite deviendra
Transportant l'origine au foyer S des absclssei positives à l’aide des formules ' ’ ' ' ; .
X — c-\^p cos » Ae -4* p-cos u ,
; . . ^ , 2^ — P sût “ , . . . '
onobtiendra , en observant qiie sia^Mss: 1 — cosftt, f + 2 (1 — «*) kep cos 61 — cos *6) si: A* ^1 — t’ et P=*=-tA(l-î:c2)-pco8 6.)ï. ’
- ,• v;-. ' .. ^ ,e wr
Extrayant la racine carrée, et prenant là valeur de p ,
A(i — ‘''0È3 é , •.i.'iüii
P -^'1 g.ces-i»'-^
Les points P et A, le plus rapproché et le plus éloigné du
foyer se .nomment le pérthdliê et l’tyiiyitV ;> Tangle MOPssa» est Yanemalie vraie dans les orbites planétaires ; e. rat lOttjo«rs
une fraction tr^ petite : pour l’orbite terrestre , a = ^ en-
viron» ■ , , . •
' 1 < Applicationêi
Étant donnée l’éqnatlon d'one courbe du 2* degrd ■ y»«2pa! + 9»* , , ,• (i)
rapfortée au Mimnet et a Ms aies principaux, trouver réqnalk» de b droite taiigeide en un point donné (s', y*) de b courbe.
Ce problème se résout facilement à Taide des coordonnées polaires.
Soit y' = A (at — a?') (2)
l'équation d’une droite quelconque passant par le point donné.
'Transportons l’origine en ce point comme pôle , et prenons pour axe fixe une doite parallèle à l'axe traraverse ; au moyen des formules J
« = «'-{• I» cos w ,
y = /4-l»sin u:
on obtiendra paria substitution de ces valeurs dans Téquation (i) une équation de la forme >
le terme indépendant P n’étant autre chose que Téquation (1), dans laquelle «et y sont remplacés par et 7'. Or, ce point («'»/) étant à la courbe, P = 0 , et Téquation se réduit à
Mais si Ton vent que le rayon vecteur soit dirigé suivant la tangente (2), il font encore que la seconde valeur de p soit nulle, ce qui donne Nc= 0. .
Or, dans le développement, on a
Nsr^'sinw — 2/> cos »— îç»* cos*>:
donc , à cause de N = 0 , on en conclut
sin «»'p4*?*' ‘
-) ■ ' J . cos«"“ y ,
MU eut*! W j> w;v<Ji al . . îi.uy j é;
Si l’on subslitne les formules de transformalion dans l’équation
de la droite (2) , on trouve
, sin &i
. ' co s w ‘
donc
et pour l’équation de la tangente demandée,
ainsi qu’on l’a trouvé précédemment par une antre méihode(205):
8S6. Étant donnée une droite mobile OM autour d’un point fixe O. tandis que ie point P décrit la dreonférence AMB un autre point m parti du point O ae meut sur le rayon OM, de manière que sa distance an centre soit à ce rayon dans le même rapport que l’arc décrit est & la dreonférence : quel est le lieu géométrique des points m 7 ,,
On trouvera facilement l’équation polaire du lien géométriqne en prenant pour pôle le point fixe O , ' et pour ate fixe une droite quelconque OF. En effet , si m est une des positions du point mobile , on devra avoir, en représentant OM par a ,
am arc AM p a» a
ÔM“circ AMNB a W
En faisant successivement w =0 , = ^ t s=: ir ^ s
on trouvera autant de points qu’on voudra de la courbe omAiede, C’est la tpirale d' Arehimède-
5S7. L’équation générale de ces spirales est de la forme »’
■ H ■ , K . . . . .ji .tj
/> = Aa.'», ..
n pouvantéfpe>Oon<l,>lon <1, . n,
. On a encore une spirale dans l’équation - -ij> i >r . , . A- •»
. /)=:au. '■■■ • V
‘ C’est la tpirale logarithmique.'
Nous engageons le lecteur à disôüter qndquea nourlies dt cette famille, et en particulier les courbes snfvantës:
tufi^tS: du,
p~ a cos U,
j9 = a SID üf
P = a tangw.
»p sa tt oos^w+A»
âj;> ,. •
-r 3Qâ ^
■ spihile de Goood» ’ !,:••-- • •
spirale hyperbolique.’ ' •
cercle décrit sur a comme 'diamètre , a étaat pris sur l’axe Sxeà parürdu pôle, cercle dont le diamètre a est perpendiculaire sur l’axe fixe au pôle même.
. courbe à deux branches symétriques, tangentes à l’axe fixe au point même du pôle, et ayant pour asymptotes deux droites perpendiculaires à l’axe fixe et tangentes au cercle décrit du pôle avec un rayon égal à a.
Si l’on suppose que le centre du cerple de* rayon a parcoure la droite perpendiculaire à l’axe fixe menée parie .pôle, et si on mène à ce cercle mobile des tangentes par le pôle, les points de contact appartiendront à la courbe, trois, courbai diiïérentes, seloo,<{ae A >dt > , A = a, A<o. , . ■
P =acosK «> -f- A, donner à £ soeoessivemen les valeur 2, 3, „ ô, etc., et discuter séparément les cas
■- ’• A> a, A = o, A'< O, A = 0. Courbes étoilées.
.ps=aslnK» discussion semblable. . . ^
^ PROBLÈME. ' • î . .
51S8. Étant donné tm cdne droit dans lequd le rayon de la base est te tien dn cdté, d'un point donné sur la surface, comme centre , et d'un rayon donné, on trace une courbe sur la surface du edim t ensuite développe le cdne sur un plan : trouver l’équation de la courbe tracée par le compas et devenue plane par le développement. • ‘
Soient SCC' le cône donné (fig. 14^,' A le'^bint donné'kir sa surface , tel que SA=: <m ki courbe décrite de ce point peut être considérée comme l’iniersection . d« cône par une sphère de rayon égal au rayon donné r. Concevons qu’on ait mené UQpian
cône , ou parallèle à la base, et qui coupe à la f9Î||,ifi,«p|i^e et le Cj^e.;l^ djQP3. cfrl^ ,Jplfrse(>.
lions de la sphère et du cône par ce plan , auront au moins un point commun M, qui sera en même temps sur la surface du cône. Sbient BSD', MSH , deux sections du cône par des plans passant suivant Taxe et suivant les génératrices connues SB , SM. Ces deux plans couperont le premier plan sécant et la base, l’un suivant les'droites parallèles BB,CC', l’autre suivant HM, GF, ce qui déterminera les triangles MHB, CGF.
Cela posé , si l’on développe le cône sur le plan langent suivant la génératrice SB , soit u l’angle que feront entre elles les génératrices SBC, SMF, après le développement ; cet angle aura pour mesure un arc égal en longueur à Parc CF , décrit avec le rayon SC, côté du cône ; mais ce même arc étant la mesure de l’angle CGF, décrit avec le rayon CG, trois fois moindre, d’après l’énoncé : il en résalle que l’angje CGF = BHM = 3«. Prenant donc sur la génératrice SMF , ainsi développée , une longueur P = SM , le point M sera un point de la courbe développée.
En répétant la même construction , au moyen d’une suite de plans parallèles à la base du cône , on obtiendra autant de points qu’on voudra de la courbe demandée.
L équation polaire de celle courbe sera donc une certaine re- ‘ lation entre p et w , relation qu’il s’agit de déterminer.
Pour cela , du point A , menant AI parallèle à l’axe, et joignant MI , on aura, dans le triangle HMI ,
MÎ2 == HM^ + HÎ2 -- 2HM . HI cos 3«.
Or
HT — - H f; > 1
HI — SA=.^SA-a,
MH
=AM^-AH=r2^AB^BHJ=iH-[(p a)2-îo.a)2],
substituant ces valeurs dans l'équation précédente , on obtiendra
— c)2=^p2 + * o^— |ap cos 3m;
réduisant et ordonnant par rapport à.p.
P* — 9 «P (8 + cos 8m) + a* — r* = 0.
^'^Telle ëst l’équation polaire dé la courbé, en prenant pour nxe fixe la génératrice du point donné A , *et pour pâle Je sommet S du cône.
* S89. Avant ^e construire cette courbe pour des valeurs {Htrticulières de a et r , examinons d’abord dans quels cas le développement donnera une seule courbe ou deux courbes : il pst évident que cela arrivera lorsque la sphère pénétrera le cône sans le traverser, ou qu’il y aura une courbe d’entrée et une o>urbe de sortie; en un mot, selon que le rayon de la sphère sera plus petit ou plus grand que la perpendiculaire AP abaissée du point A sur la génératrice opposée.
lÀ triangle SAP donne ' ’ .
AP =.AS sin ASP rî’a sin S , . "
et le viangle SCC’.,
sin CSC’CC'2 .sinSCC’~SC'~3»
o:. .V f.if
d’où '
