BC
' Faisant A = 0 , 6 == 0 , et y' = |, dans üexpression générale de P, on aura
ensuite
GP=^sin6; ,
A = oo,.. B = 0 et ar',= - ,
GR=='Siu9;-
et en6n A = — B=3Ô, ar» = ;, y' = -
. . • . , ^icsinS
' ^ \ * |/ — 2Accosô’
Or AB— O., AG— ô, BC — ô*-}-e^^2icco80 •
Ar.,. AB, GP AC . GR BC . GQ 1 Ac . sin • 2^ 2~^ , 2. ^ “"3 . 2 .
JDjqitizeo^by C^eo^c
d’oèl’on pourrait cobclüre, si on ne la conhaissaH'déjà , la formule tri^onométrique
surf ABC =
AB . AG sin BAC
37. Le centre de granité est appelé aussi le centre des inoySii- ’nés dislànccs's Nous laissons au lecteur le soin de démontrer ^ cette propriété Mu centre de gravité du triangle par rapport A une droite quelcontjue , ' ÿ = A*a? By menée à volonté dàns le • plan , ainsi que les'théol’ème^ qui suivent. .
‘ THÉORÈMfe. ' ■ '
Dans tout tdatoçlélés ârcttespeqtaidkalaireaâevées sortes milleiix des eôt& ooDcoùrent en un même Itgiiit. , . ^ •Jj.t
On trouvera pour les çôordonoées iki pâint de concours — frcos9 'x i — qco^S t ;
2sin^a ’ Ssin^e ■
On tirera de ces valeurs des conséquences assez curieuses. - *■ Par exemple, en cherchant l’expression de la distancé du premier point de concours à l’un des 'sommets du triangle à l’orP gine, pom» plus de simplicité, laquelle distance est, comme on sait > lé rayon du cercle circonscrit au triangle ^ on trouvera
. . 2siu6 ' .■
en uppelant à le côté opposé h Pangle A ou 6 ,.et par conséquent a - "b ' c ■■■ / ''
2 sin A .JsSbT SteinC’
A, B, C; a, b,c, désîgnanilas angles et les^ côtés du triangle; eteoçore ’ sürfABCr:^^^ ' v •’
qui sonU’cxpression d'autant de théorèmes généraux.
T THÉORÈME. • ■ '
Dans tout triaaste le rayon du cercle circonscrit est égal à la moitiédu rapjx>rt' ' d’un cdté quelconque au sinus de ryAgle , Opposé, . * ' -
, THÉORÈME. ‘ ■
La surface d'un triangle quelconque est égale- «p -produit (les tr<»s c6té»f diviêé par le 'double du diamètre du cercle circonscrit.
THÉORÈME
. tSS. Dans tout triangle les perpaidiculaires abaissées des somïiieU sur les c4UA .
opposés concourent en lin même point. • '
On trouvera pour les coqrdonnëas.de ce point - ^
. • ' ( A — «’CÔs cos 9 . w. • • .
.■<( ■ sin^ô ’ ■*.
. ^(ç — Acos9)co59'
y ' THÉORÈME. ■ '
> 59. Les dnütes qui divisent en deux parties égalés' les'angles (Tun'tijimgte concourent en un même poinl. - ^ .
' Ce point a ponr coordonnées
• - Ac ...» ■ ■ ■
^.es perpendiculaires abaissées de ce point sur les cétéssont'égales. ■
Ce point est, comme on sait , lé ceiitre dit cercleinscrit , et la yaleurdu rayon du cercle imserit, , : t * » »„• • ' *X.'
" ’ Acsin A
PROBLÈlte. ; -
Déterminer un point a égale distance de trois droites données • ' . -
X& problème a quatre solutions. ' *,'< ' v • ,
, Désignant par a, A, «r^'des cètés du triangle formé par 1% droites ; par 2p le conlÂir, pw.e la surface, et enfin par p, , p,, P,, Pt, les quatre. distances ég^es, c’esT-à-dirtf les rayons. des quatre cercles, tangents à la fois aux trois droites données, on trouvera les résultats suivants .; •
Dtgf'rd^'bÿÇoogït
« jt-..
- »1 »/ fc .
P, est le rayoH tlu cercle inscrit , et^, » Pa > Pu les rayons des cercles tangents extérieurement aux (^lês dont la lettre se trouve au dénom^ateur. - - v - . . \
•p.X P. Xp,Xpi=*^.
P. P. fil Pi
4» R étant le rayon du cercle circonscrit,
S = P»^X P) X Pi
6« Et enfin cette nouvelle propriété du triangle reciangle : ,
‘ * '■ . THÉOÇÈMB. " .* •
Dans tout triangle rectangle la circonCérence du'ccrcle tangent ana^ trois cdtés, et extérieurement à l'hypoténuse, est. égale ù la somihe des trois autres cireonfé^
rences.
- ■ 40. Si l’on représente par D la distance des centres des cer-: clés inscrit et circonscrit, on, trouvera cetle expression : . ' . ,
.. . D2 = R2-'2Ra-- '(P)
• / . • THÉORÈME
La distance des centres des cercles inscrit et circonscrit est une moyenne proportionnelle entre le rayon du’ cercle circonscrit et l’éxcès de ce rayon sur le do^i^le du rayon du cercle insériu ' ■ \ . ^
41. En désignant par S la somme des distancesdes trois sommets des points dè cdhcours des perpendiculaires abaissées sur les cètés opposés , on obtiendra . / , .
-, THÉORÈME
Dans tout triangle ]a somme des distances du point de concours des trois hauteurs aux sommets do triangle est égale à la somme des .diamètres des cercles inscrit et circonscrit
^Sl le triangle est rectangle, on a ce théorème :
, • ' ' • . THÉORÈME
Dans tout triaugle rwUnglç l'hypotéuuse est <^ale à l’excès de U somme des deux côtés de l*angl« droit sur le’ diamètre du cercle inscrit
Digitizêd.py'GoogIe,
fbrnue (le I’expt«8si(m t*, a6a delà fm>nnAttre prontptêment aa . besoin.' . . . , • ,
. Les distanoés'd’ün point jr'ÿ' aux coordonnés sont : .
. • , . •- fl =: y' sin fl. . ; V . ' cy •» • '
i Sî tes MW* sont rectangfulairés, œtte ekfnressiôn de P'sfe simplifie et dexient . •- , .■ » ' - ‘ ’
, 99. ^ le point' donné .est à l’origine ) U ▼nlenr de P sé sim-' * [fiifiie encore., et l’en a . v * •
P.= dt ■ — . en coordonnées obtiqués^
K l+o^4-2acose . • • • ■' •.
P = ± — — — ' en coordonnées rectangnlaires.
50. Telles sont les princi^tes formules dont on se servira potir la recherche des propriétés des fibres géométr^nes rceti- .■ .
Jignes,,etla résolution des problèmes sur la ligne droite, ,
^ Iléons eh donnerons ici quelques exemples bien simples, et I
noos renverrons^e lecteur, pour de plus amples détails , h notre . '
recnéil de Problimet d’ applieation de V algèbre à la gèotftibrie, '
V* partie, Z?fl /a rfro»/c fl/ rf« erfwpfc. (!) ^ •
• r THÉORÈME. . . . ■ ■ . '
. SI. I,e« diagonalet d'un pBral)<fcgiyiaaaÉj4MS9BÉ4ia^iMppnMfliia9^ ^
ment en deux parties é0|a1e8. , ■
Si l’on prend ponr axes des coordonnées les'cdtés (fig. 7) , et si l’on Tait ÂB= a, AD = £ , d’après la' définition do parallélogramme, les coordonnées du point G seront « = a, ' y=;A, ét Céqaation de la diagonale AC, passant par l’origine et par le point G (à,. A), Mra (17) ■, ,
AG... ou i--=0^r -0 'î(2),
‘et (7) celle de BD...; f -(a)
ajoutant et retranchant les équations (1) et (2) oh troovera /. ‘
Oigilized by Coo'tle
pônr les coordonnées^ du point d’intersection* O , d’oü il résulte évidemment c{ae ce point est à la fois le point milieu des denx diagonales. '
• * THÉORÈME
S2. Dam tout quadrilatère, ai Von joint deux à deux les milieux des cdtès< la figure résultante^ un parallélogranune.
On prendra- pour axes deux des côtés, AB, AD (fig. 8), du quadriRtère,~et faisant AB = a, ADr^ A., c el d désignant les coordonnées du point G j les équations des diagonales seront
