BC
' Faisant A = () , C = 0 , et y' = | , dans üexpression générale
de P, on aura
ensuite
GP=5Sin9;'
A = oo,.. B = 0 et = - ,
GR — -siü9;*
el en6n A = — -, B=ai, V = ^, ^' = ■5/
■ • / . ■rôçsin 6
. • ‘ GQ — ~ .
^ (/ 2iecos9*
Or AB^e^ AG=Ô, BC — |/ A*-|- 2ôc cos 9 •
AB-GP ÂC.GR BC.GQ lAc.sin* 2. . Ï~T , 2. v—3 , 2 ’,i
donc
d’où l’on pourrait conclure, si on ne la connaissait' déjà , la for-
muletrigonométrique
r AB . AC sin BAC surf ABC = . '
57. Le centre de gravité est appelé aussi le centre des naoyênnes distances.. Nous laissons au lecteur le soin de démontrer ^ celle propriété ‘du centre de gravité du triangle par rapport à une droite que{con{]ue , y = A'ar -|- menée à volonté dans le plan , ainsi que les" théorèmes qui suivent.
THÉORÈME.' '
Dans tout triauelé tes droites perpendiculaires élevées sur les milieux des oAtâ concourent en un même point ^ j. ^
On trouvera pour les coordonnées du point de concours .1 ' ^ ^ #
,0 — ZtcoS9 b — oco^9 ^
jf=i-
2sin*^‘ ’ ^ 2 sin* 9
On tirera de ces valeurs dqs conséquences assez curieuses. *
<• Par exemple^ en cherchant l’expression de la distance du premier point de concours à l’un des sommets du triangle, à l’orH gine, pom^plus de simplicité,. laquelle distance est, comme on sait J lé rayon du cercle circonscrit au triangle ^ on trouvera
. 2sin6 •
en appelant a le côté opposé à l'angle A ou 6 , et par conséquent
' . jv a . *b * c
• ■ • • *~2sinA^ 2 sin B 7” Sfcin C ’ '
A , H , G; O, A, zf , désignant 1ns angles et les côtés du triangle; et encore
qui sonU’cxpi'ession d’autant de théorèmes généraux.
THÉORÈME
Dans tout tvûuigle le rayon du cercle circonscrit est égal & la moiUédu rapport d’un cété quelconque au siniu de l’ynglc opposé.
, THÉORÈME. '
La surface d'un triangle quelconque est égale ap produit des trois cétés. divisé par le 'double du diamètre du cercle circonscrit. ’ ' ■
surf ABC • oK '
THÉORÈME.'
. 5ft. .Dans tovt triangle les perpendiculairea abaissées des sommets snr les côlA opposés concourent en un même point.
Oq trouvera pour les coordonoëes.de ce point «
. • j( A — CCOS9) cos3 .
' \ , sin^ô * ^ r - ^ ^
(ç — Aco59)cos9'
. • sin* ^
^ ■ • ' THÉORÈME
> S9. 1^ (fasdus iiui divtwnt en deux paito ég^' kt angles d*un triangle conconrent en un même pçnnU - ^ .•.••. .■ * ^ ■
- Ce point a pour eooràoipées
■ . - be ' ' •
. , > . y =r^+yip;* • -•'
Jiesperpendkalaires abaissées de «point sur lescAtés sont' égeks. '■ ■ ' •
Ce point est, comme on sait , lé ceûtre du cercleiascrît, et la yalè^urdurayon du cercle iascrît. •
■ . ,sv. ^ - ^gsiuÀ ,
PROBLÈlb. ,» " »
• • ^ • Déterminer un point b égale diitan« de tnds droites données. • . .
i-Xo problème a cpiatre solutions. " ' . v ■ ,
, Désignant par a, b, ej'ha cOtë« du triangle formé par 1^ droites ; par ip le contÀir, par ,f la sùrface, et enfin par />.,(>.» py, P4, les quatre, distances ég^es, c’esT-à-dirtf les' ray.oos.des quatre cercles tangents à la fois aux trois droites données, on trouvera les résultats suivants ; • , ‘
. ..Digilized bytloogi,e
P, est le rayoH ’du cercle inscrit , et^, , p^, Pi, les rayons des cercles tangents extérieurement aux côtés dont la lettre se trouve au dénominateur. , «
•p.xp.XftXp.=*^.‘ ■ ' .:'c /•••
1==L+Lxi
/». p. fii Pi
4* R étant le rayon du cercle circonscrit,
6« Et en6n cette nouvelle propriété du triangle rectangle : ,
>. TBÉO^ME.
Dans tout triangle rectangle la circonlérence du "cercle tangent an^ trois côtés, et extérieurement S l'hypoténuse, est égale h la somme des trois autres circonférences. ... '
40. Si l’on représente par D la distance des centres des cercles inscrit et circonscrit, on,ti*ûuvera cette expression : .
D2 = R2 - 2Rn- , ’ . ■ (P)
, # ‘ , TBÆORÈME.
La distance des centres des eercles inscrit et circonscrit est une moyenne proportiov>elle entre le rayon du cercle circonscrit et l’excès de ce rayon sur le double du rayon du cercle insèrit
