En désignant par S la somme des distances des trois som

mets des points dé ct^coiirs des perpendiculaires abaissées sur les côtés opposés , on obtiendra . . ,

. • . , S = 2R -f-'sn , !. ,(Q)

THÉORÈME. ,■ , ,

Dans tout triangle la somme des distances du point de concours des trms hauteurs aux sommets du triangle est égale à la somme des diamètres des cercles inscrit et circonscrit. , ’

^Sl le triangle est rectangle , on a ce théorème :

' ' ' ■ • ■ THÉORÈME

Dans tout triaugle rectangle .l'hypoténuse est égale à l’excès de la somme des deux côtés de l’angle droit sur le' diamètre du cercle inscrit

•Ou . - . / ; :• .

<Le 'diamètre du cercle inscrit dans tout triangle rectang^est égal à l'éicèide la somme des deux cAtés de l'angle droit sur l’hypoténuse. ^ . 'i .

La d^mbinaisou desJbrmules,(P) et (Q)'donne

D2=K(3R— SK

De là : '

■ THÉORÈME

Dans tout triangle la distance des certres des cercles inscrit et drconserit est une moyenne proportionnelle entre le ^yon dd cerclé drebma:rit êc l'exCts du triple de ce jayon sur la somme des distances du point de concours des trois, hauteurs aux sommets du triangle.

Eteoeore : ‘ ‘ ■

THÉORÈME. -

, Dans tout triangle rectangle la distance du milieu de lliÿpéténuse (cen»e du cercle circonscril^au centre dn cercle inscrit e^ une W>yenne proportionnelle entre la moitié de l'hypoténuse et l’excès éu triple de dette moitié surJla sommé des deux cAtés de l’angle droit. ' . » . . , '

! . ■ ' • THÉORÈME. •• •

■48. Dans tout triangle le' centre de grarité (point de oonconrs des droites des milieux) le centre du cercle circonscrit et le point' de ponSours des trois hanteun. dent en Dgne droite , le centre de gravité étant aU tiers de la dislahce des idéux autres points. '

Nous eirgageons. le fecteyr à faire choiit , autant que poKÎble; pour, axes deR. coordonnées , des côtés eux-mémes du trian|de. Les équations des droites sont très sytniétrjjqttes ,rét le. réài^t .plus tôt mis en évidence. ^ s

Au' surplus , nous le renvoyons au recueil ci-dessus rappelé, ponr le calcul en coordonnées rectangulaires /étnqüs terutinerons parla théorie des transversalés rqptilignas, qui ie démontre par l’analyse algébrique ayec la' plus grande fedlité.' ^ Nous donnons ici une solution de ce problème un peu différente de. celle qui est développée dans le recueil , et qui paraîtra peut-être plus simple et plus élégante. ..

- • PROBLÈME. . .1. .. . f ,

48. Étant dohnêes deux droites, AB, AG, et un point P, daijstéplan de cé»

droites (fig^ 10) , on mène par ce point des conples dé sécaoîm,'PQH, PRI^et l’An joint réciproquement les pohrts d’intersection par 4es droites MR, OS , qui se Âipent en un point I. TrouTer le lieu géométrique de tous les points 1 ainsi lAtènus.

‘Prenant pour axes les droites données AU,. ÂC',. néus ferons

AR = a', AS = |5',

«r^» |5', correspondant à une position particulière des sécantes

POM , PRS , menées du point P.

^ Cela posé , les équations des diagonales MR, OS , seront évidemment

os...

et l’on trouvera aisément pour coordonnées du point d’intersection I '

* P'«'— jS« »

d’où

Mais les sécantes elles-mêmes POM, PRS, ont pour équaüons POM...

PRS... | + • f'v -

et, si l’on désigne par y., les coordonnées de leur point dmtersection P, on trouvera

• ajS'— ]3«' '