MN.OP = NO.MP. ^ (T
Ainsi, toute transversale PONM , dans quelque direction qu’on la mène , est partagée par les quatre droites AC, AI, AB, AP, en trois segnienu tels, que le produit du segment moyen par la somme des segmenu est égal au produit des segments extrêmes.
La relation (T) peut se mettre sous la forme t
PM__PM — PN PO~PN Fü*
El par conséquent 1« distances des points M, N, O, au point P, sont telles, que
la plus ermde est à la plus petite comme l’excès de la plus nrande sur la moyenne est a 1 excès de la moyenne sur la plus petite. * ^
^ On dit que trois grandeurs sont en proportion hartnoniquo lorsque cfette relation existe entre elles : chaque sécante est donc divisée harmoniquemetu par les quatre droites , et les quatre droites pour lesqueBes la relation (S) existe forment un fait-^ ceau harmonique.
Les quatre points P, O, N, M, sont dite harmoniq[ues. ''
Il suit de là que ' * . • , .
- Si d’un point quelconque, hors d’une droite divisée harmoniquement , on mène des droites à quatre points harmoniques, ces quatre droites forment un faisceau harmonique. . '
J,es triangles qui ont pour bases les segments harmoqiqnes sont eux-mèmes en proportion harmonique. ■. , '
Un faisceau harmonique peut être représenté par l’ensemble des équations'^ . ‘
x = 0 ,(A'J, ÿ—kx=0 (&).
L’origine des coordonnées’^étant au ^sommet du fgisceau , les droites e, c',' sont dites conjuguées, par rapport aux deux autres ’ ^roiies du faisceau , qui sont les axés eux-mêmes, et réciproque- ’ ment. ‘
Trois côtés tfun faisceau harmonique fonqent, avec le prolongemoit du quatrième côté, un second faisceau harmonique.
En désignant les qùalre côtés du faisceau harmonique pan les nombres 1, 2, 3, A, et leurs prolongements respectifs par &, 6, 7^ 8, on aura huit faisceaux harmoniques.: 1234, 2345, 3456,4^67, 5678, 6781, 7812, 8123. . ‘ ‘
Si dans les équations -
<JnfaitX=:a?, ona Y = — ÿ. ■' , . ‘
On peut donc dire généralement que - ~
Toute droite interceptée dans un faisceau harmonique est divisée harmonique-’ nient. Lorsque la droite interceptée est parallèle 6 un des côtés du faisceau , les ’ deux s^ments interoeptés .sont égaux.
47. Dans un faisceau harmouiquè'A (fig. 12), les côtés AD, AE, étant conjugués par rapport aux.deux autres AC, AB, et réciplroquément, les points N ét P situés .sur les deux premiers sont dits conjugués par rapport an. segment MO intercepté entre les deux autrés, et réqjproquementM etOsont conjugués par rapport à NP. ‘
' Etant donnés nné drqite MO et un point P j on trouvera fàci- - lement son conjugué N par la construction suivante : d’un point quelconque A on mènera les droites AMC, AOB, APE,, et par le point P une transversale quelconque PRS $ ensuite joignànt
SO cl RM, cl mcnaat Âl, le pjiiit d’iniersection N de celle droile cl de la droite donnée sera le point demandé.
Si, counaissanl le point 1^, on voulait d^tçrmincr son conjugué P, après avoir pris un |>oinl quelconque  hors de la droite , et mencAMC, AND, AOB, puis une sécante quelconque TU, on joindrait TOH , MUII , et le point P serait déterminé par l’intersection des droites AH et MNO.
48. Enfin on résoudra facilement, au moyen de la règle seule, le problème suivant :
probiJ;m£.
Mener par un point donné une droite qui concoure au même point que deux droitee données qu'on ne peut prolonger,
SC, RU et P «tant les droites et le point donnés, on mènera par le point P trois sécantes quelconques PRS , POM , PUV, et , par les points d'intersection I et G de deux des quadrilatères interceptés , un mènera la droile IG , qui sera la droile demandée.
Si le point donné est situé entre les droites données, I par exemple <fig. 13), on mènera deux sécantes , RIM, SlOj puis SRP, MOP, qui détermineront le point P, par lequel on tirera unç nouvelle sécante PUV j et ensuite le point d’iniersection G des diagonales MU , OV, achèvera de déterminer la droile demandée IG.
49. Remarque. Le petit nombre d'applications que nous ve-f Düns de présenter est plus que suffisant pour convaincre des avantages de l’algèbre dans les questions de géométrie : non seulement elle constate par ses formules les diverses propriétés que la synthèse ancienne avait découvertes , mais encore elle en fait découvrir de nouvelles par un moyen sûr et facile , œ ae servant pour cela que du calcul , dont, les procédés sont généralement applicables à toute espèce de formes géométriques.
Nous passons maintenant à l’ettninen d’autres fwnt^ particulières , à la découverte des propriétés des lignes du 2* degré , renvoyant, pour de plus nombreux eKercices »ur In ligne dioiie, au recueil de problèmes précité.
