DES LIGNES DU 2* DEGRÉ

' DISCUSSION DES ÉQUATIONS DU 2« DEGRÉ, CLASSIFICATION DES LIGNES QUELLES REPRÉSENTENT.

ttO. L’ëquation la plus générale du deuxième degré à deux inconnues , d’après la remarque du n* 12 , ne pourra avoir pins de six termes, et sera par conséquent de la forme

' ’ n outre , d’après la remarque du n* 11 , elle ne pourra acquérir un plus. grand nombre de termes par le changement des axes coordonnés : par conséquent on peut regarder l’éqôation (1) comme étant rapportée à deux droites quelconques prises pour axes. Il suit de là ce théorème : ’ . . .

THÉOBÈME. ■

Une ligne du S* degré ne peut être rencontrée par une droite en plus de deux points. '

En effet , si l’on prend cette droite pour l’un des axes coordonnés, celui des abscisses par exanple, les abscisses des points d’intersection se trouveront en faisant ysO dans l’équation (1), ce qui donne • Car* -f- E« -j- F = 0; , (2)'

d’où'l’on tirera deux’ valeurs au pins pour «.

Si les racines du trinôme (2) sont égales, lès deux points d’intersection sont réunis' en un seul : la droite n’aura donc qu’un ’jptrint commun avec là ligne du deuxième degré-, et sera ce qu’on appelle à celte ligne. ~ i

' ’ Si les racines sont imaginaires, la droite ne la raacontrera pas.

. "81. Pour reconnaître la forme de la ligne représentée par l’équation (l)j appliquons la méthode générale, et résolvons celte équation par rapport à l’une des inconnues, y par exemple. On trouvera , après avoir mis l’équation sous la forme

ou

Ay^ -j- (Ba? -f" D) y -j- Ea? -j- F 0

,.^(Ê£±2), + (îîi^±I)J,

la valeur générale de l’ordonnée et , faisant pour abréger ,

B*— 4Ac=n, Bb— 2AE=p, D* — 4AF=9,

y:=zax-\-1>±—[/'nx^-{-1px-{-q.

Les deux valeurs de y comprises dans c,ette valeur générale ont la même partie rationnelle , exprimée par oa? + A , et qu’on peut regarder coéiime l’ordonnée de la droite

y = «ur-j- A. '

Construisons cette droite , entièrement déterminée , puisque a et A sont des quantités numériques ou algébriques données.

Soient OX, OF 'fig. 13) , les droites prises pour axes, et DD, la droite construite.

Pour obtenir autant de points qu’on voudra de la ligne (1) , on donnera à x une valeur quelconque

a^=OP;

par le point P on mènera l’ordonnée indéfinie PH , sur laquelle on prendra à partir du point II, au dessus et au dessous de ia ligne DD' , deux longueurs HM , HM' , égales à la valeur que fournira la partie irrationnelle .

On voit, en effet, que d’après cette construction

PM =PH+ HM - ax+A -I- ^ \/ni^ +ipx~q,

PM'ssPH— HM'==ax-},A — ^^[/’nx^-\-1px-\-q>

Ét répétant la même construction pour toutes les valeure de x

qui donneront au radical des valeurs rëelleâ , on obtiendra autant de points de la courbe qu’on voudra. ■ .

D’ailleurs, en donnant à x des valeurs aussi rapprochées qû’on voudra , on obtiendra aussi pour y des valeurs très rapprochées ; en effet , si et ar", représentent deux valeurs consécutives attribuées à X, et y', y’, les valeurs correspondantes de y, on aura les deux relations ^ -

Ajf® Ba:'/ + + Dj' -f Elr* -j- F = 0 1

Bar'jr' -f- Ca^* -{- Dj* -f-Ef'.rl" F = 0 ; ^ • d’où , , . . .. ; .. ^ .

A(j,û y-r2)4.B(^y'-ar'y')+<Xx’W")+DCy'--/';^E(x'^')^

. Et à cause de ‘ j

ar'*— *'«=:(a!'H-af")(ar' — ar")v . ‘

(^'+^0(3'' — j")+fa?'—a:")r/4-/';

on trouvera

D’où l’on voit que la différence entre deux ordonnées consécutives décroît en même temps que la différence des abscisses, et devient nulle en même temps qu’elle. ^ ''

Si donc on détermine uti assez grand nombre de points de la ligne convenablement rapprochés entre^ux, M, m , M' , m' , on n’aura plus qu’à joindre tous ces points par une ligne continue, ^i sera la ligne lieu géométrique 4e l’équation

La construction fera reconnaître que ce. lieu géométrique est généralement une ligne courbe. <

, On remarque , en outre , que la droite DD| parte^e en deux parties égales les portions des ordonnées MM', mm', comprises dans la ligne du deuxième degré ; propriété, qui lui a fait donner le nom de diamètre, ... *

tfS. Afin d’arriver plus promptement à. reconnaître la forme de la ligne par la forme de Féquation , examinons les diverses modifications que peut subir l’expression renfermée sons le radical , puisque c’est de la partie irrationnelle de la valeur générale de y que dépend principalement la forme de cette li^e.

^ ^2A(y + y')-pB(»'-f x»)+2D*

Dig Irf d ûy Googlu ,

Faisons, pouf abréger i ’ v ' ■

Y désignant généralement la. portion de l’ordonnée qui en doit être portée au dessus et au dessous du diamètre ; et cherchons l’éténdue et les limites des valeurs de x qui rendent Y réelle , nulle ou imaginaire , ou , ce qui revient au même , qui rjéndent jix^^ 2px-{-q positive', nulle ou négative.

Or, on sait que dans un polynôme quelconque • ' par“ 4“ Qjr” “ ‘ Hr“ - ■ -J- etc. ‘

on peut toujours assigner ivx une valeur positive et une valeur négative telles, que toutes les valeurs positives et négatives plus grandes donnent pour ce polynôme des valeurs de même signe que le premier terme ; et qu’en faisant croître jusqu’à l’infini , les valeurs du polynôme augmenteront elles - mêmes jusqu’à l’infini. .

Cette valeur n’est autre chose que la limité des racines positives ou négatives de l’équation

que l’on obtient en mettant le polynôme sous la forme

P^ar“-l-Pa?"‘-.-|-|x”->-|-etc.)/

P conservant sôn propre signe. • .*•

Ainsi , ù partir de certaines valeurs de x-, positives ou négatives , la quantité nx^ -|- Zpx -f- q prendra des valeure croissantes jusqu’à l’infini , et de même signe que son premier terme «ar* , et comme le carré a?* est toujours positif, de même signe que n , c’est-à-dire de même ligne que B* — 4AC.

Si donc n est négatif, c’est-à-dire si — 4AG <C 0 , il y a des valeurs de a? au delà desquelles Y est toujours imaginaire,, soit qu’on donne à x des valeurs positives , soit qu’on lui donne des valeurs négatives. D’ailleurs Y ne peut jamais devenir infini pour aucune des valeurs de x entre lesquelles Y estTcel , car ar n’entre point en dénominateur dans le polynôme soumis au radical : donc la ligne du deuxième degré dans ce cas particulier est limitée dans le sens des abscisses positives et négatives, tant au dessus qu’au dessous du diamètre.

Si « est positif, c’est - à - dire si — 4AC > 0 , il y a des valeurs positives et négatives de x. au delà desquelles Y reste toujours réel ; d’ailleurs Y peut croître jusqu’à l’infini : donc la ligne du deuxième degré ,'daus ce second cas particulier , est illimitée dans le sens des abscisses positives et négatives , tant au dessus qu’au dessous du diamètre.

Si « = 0 , c’est-à-dire si B^ — 4AC = 0 , Y se réduit à

et, d’après la remarque précédente , si ^ > 0 , à i positif et aussi grand qu’on voudra correspondra toujours une valeur Téelle et illimitée de Y. ^

Mais en donnant à x une valeur négative suffisamment grande , on aurait pour Y une valeur imaginaire, {.a ligne du second . degré dans ce troisième cas est limitée dans le sens des abscisses négatives. Ce sera le contraire si p est négatif. Ainsi, dans ces deux cas la ligne du deuxième degré est illimitée au dessus et au dessous du diamètre , mais elle n’est illimitée que d’un seul côté par rapport à l’origine.

Nous examinerons bientôt le cas particulier où p serait nul en même temps que B» — 4ÀC.

83. La discussion précédente nous conduit à distinguei^ trois genres de lignes du deuxième degré , à l’inspection seule de l’équation:

B* — 4AC <C 0 } Ligne limitée dans tous les sens.

B^ — 4AC ^ 0 , Ligne illimitée dans tous les sens.

B^ — 4AC = 0, Ligne illimitée dans deux sens seulement.

Cette énumératiou semble exiger , il est vrai , que l’équation soit du deuxième degré par rapport à y , mais il est facile de voir qu’elle comprend les autres cas.

84. En effet, si A = 0, C n’étant pas nul, en résolvant l’équation '1) par rapport à on trouvera

è— l^BV-j-2(BE-CÜ)j'-l- (E"-4CE).

Si B n’est pas nul , B^ étant positif, la courbe s’étendra indé-

finimcnt du côté des ordonnées positives et négatives, au dessus et au dessous du diamètre

elle peut donc être rangée parmi les courbes du deuxième genre,' ce qu’indiquait aussi la caractéristique — 4AC, qui se réduit h B? , et par conséquent > 0.

Si A = 0 et B = 0, la valeur de j? se réduit à

■ « = - ^ K-2CDj+(E2-4CF);

et , en raisonnant comme précédemment , on verra que la courbe peut être rangée parmi les courbes du troisième genre , ce qu’indique encore la caractéristique B* — 4AC , qui se réduit d’elleméme à zéro.

Enfin*, si C = 0 et A = 0 en même temps, Téquation (1) , réduite à

Ba-y -j- Dy E* -f- F = 0 ,

n’est plus qu’une équation du premier degré en y. Résolvant par rapport à celte variable , on trouve

jr =

Ex — F Bar-f-D

valeur qui se réduit à ^ pour « ± <» ;

ce qui signifie qne la courbe ne rencontre la droite ^ ^

parallèle à l’axe des x qu’à une distance infinie de l’origine : donc elle est illimitée dans le sens des abscisses positives et négatives. Résolvant de même l’écpiation par rapport à a;, on obtient

Dj-F

qui devient a? = — pour ^ t= ± <» ; la courbe ne rencontre donc la droite x = — 5, parallèle à l’axe des r,qu’^ une distance

infinie ; elle s’étend donc aussi indéfiniment dans le sensés or-

. (^ioogU'

donnée^ positives et négatives : elle est donc illimitée dans tous les sens, et doit être rangée dans le 2‘ genre dos lignes du 2* degré. Et l’on remarquera encore que la conditiou — ûAC > 0 est satislaile, puisque B* — 4 AC se rédnit à B*.

Ainsi,. à la vue d’une'équation du 2* degré, on pourra distingner. le genre de courbe auquel le .lieu géométrique de celle équation apparticnl, en examinant si la quantité B?. — 4AC est < a, ou> 0, ou = 0. ^

La condition B* — 4ACest celle qui exprime que Ay^-|-Bj?y-}-Ca?* est un carré ; ainsi, lorsque l’équation du 2» degré représente une courbe du 5» genre , les trois termes du 2« degré forment tin carré. * . ' * • /'.= . . *•