DISCUSSION DES TROIS GENRES DE LIGNES DU 2?. DEGRE

’ GEims. B^ — *4AC < 0.

. . Courbe fermée! ^ ,

88. Après avoir reconnu l’existence des trois genres, examinons en particulier chacun d’eux , en cherchant à’resserrer la courbe dans des limites qui permettent déjuger plus particulièrement de sa forme. '

Reprenons la valew générale derordonnée des lignes du 2* degré (&!),' ^ .

,y = ar + A±:— '

<|a’on peut mettre sous la forme '

et supposons encore qu’on ait construit le diamètre DD' (6g. l4), qui a pour équation * ' •

-ytrSiMf+A,, - '

Il sera facile de déterminer les points ou ce diamètre est reü - 4»qtré.par la courbe, En effet, pour, ces points Y.=? 0 (^%) ; par conséquent les abscisses de ces points seront données par l’équà-

Soient <r', af, les racines de celte équation ; et, pour fixer les •idées , supposons qu’elles soient réelles et positives , et af On prendra OP OP’ = et , menant les ordonnées indélinies PA , P'A', on détermin'era les deux points A , A', où le diamètre DD' rencontre la courbe. L’expression de Y prendra la forme

^ ^ n (X — af)\a; — ;

et l’on voit facilement que , lorsqu’on donnera à w des valeurs plus petites que a:', et par conséquent que af, on aura à la fois X — a?* < 0 , a? — O?" < 0 ; et comme aussi n < 0 , Y ^ra ima^ginaire.

Entre les* valeurs a? = et ar == *" le radical sera évidemment réel , et il redeviendra imaginaire pour des valeurs de aO» x". La ligne est donc renfermée entre les parallèles PA , FA' ; et comme les j^aleurs de x pour lesquelles Y est réel sont comprises entre x' et x" , et que d’ailleurs , x n’étant pas en dénominateur sous le radical , Y ne jîeut devenir infini , il s’ensuit que la courbe est limitée tait au dessus qu’au dessous du diamètre DD'.

On peut aussi déterminer les limites de la courbe parallèle-: ment au diamètre. Il suffit pour. cela de déterminer la valedr 7naximum de Y, qui peut s’écrire sous la forme

Or, n étant négatif, — ^ sera positif et n ^ négatif : par conséquent la plus grande valeur de Y correspondra à

«-1-^ =0 OUÆ! = — ^ ‘ n

D’après l’écpiation ( X ) , ®

af-\-x"

l’ordonnée passe, donc par le milieu de PP' et de AA', Soit C le milieu de AA', on portera sur l’ordonnée MC à partir ^u point C

des valeurs CB, CB', Igales ^ — — i P®** les points

B, B', on mènera ÊBH , FB'G, parallèles au diamètre, qui formeront avec les parallèles PA , P'A' , un parallélogramme EFGII' entre lequel la courbe sera renfermée.

En donnant à x dès valeurs comprises entre a:' et ar*', on ob- *tieodrà de nouveaux points de la courbe , dont un petit nombre

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suffira pour la [délcrminer complètement , et l’on trouvera que la courbe a la forme indiquée (lig. 14). Les courbes du deuxième degré du premier genre s’appellent des ellipsen, « On remarquera que la- courbe ne fait quettoucher les côtés du parallélogramme EFGH en leurs points milieux A, A', B, B'.

De plus , si l’on donne à x deux valeurs à égale distance du point M, abscisse du point G,'

• ; . ir, = — £ + A = AR, - CMR=MS)

les valeurs correspondantes de Y seront égales , èt l’on aura IT = IT' = GU = GU’; d’où l’on conclura sans dilBculié CT = CU’ ; et par conséquent le point C est le milieu de toutes les droites TU' menées par ce point dans la çourbe; propriété qui a fait donner au point C le nom de centre , par analogie avec le cercle.

On voit encore que la cordo»TU, parallèle à AA', est coupée en son milieu par la droite B'OB; et comme il en est de même pour toutes les cordes parallèles à AA' , BGB' est un diamètre.

, Ainsi les deux diamètres ACA', BGB', sont tellement disposés, que cliacun d’eux passe par le milieu de toutes les cordes parallèles à l’autre. ^

On les appelle pour cette raison diamètre» conjugué».

Enfin on observera que les tangentes EH, FG; EF, HG, sont respectiveme# parallèles au diamètre conjugué de celui qui passe par les points de contact.

H6. Nous avons supposé que les racines de (X)' étaient inégales; si l’on avait valeur générale de y, deviendrait

et à cause de » <C .0 , on voit que cette ordbnnée ne saurait être réelle que pour x-=zx'. Dans ce cas la courbe se réduit à un point dont les coordonnées sont

y ?= ax’ +4. . . t*

K7. Si les racines a?*, étaient imaginaires/ comme le poly- *

nôme na^ + 2/>a? +9 peut jamais changer de signe, quelque valeur qu’on donne à ar, et que d’ailleurs on peut toujours donner à x des valeurs telles, que le résultat de la substitution, soit de même signe que le premier terme , ce premier terme étant négatif, n <. 0, Y sera toujours imaginaire,' 'et par con- > séquent la courbe est impossible.

. • * 2« gerke. -r &AC > O.

Courbe illimitée dan» tou» le» sen» par rapport à l’origine.

«Î8. La quantité » ou B* — 4AC étant positive , après avoir résolu* l'équation sous le radical , aé , jf , désignant les deux, racines , la valeur générale de l’ordonnée- sera encore de la forme ’ , .

,On construira de même le diamètre DD' (fig. lâ) , et l’on déterminera les points A, A', où la courbe rencontre le diamètre..

On remarquera , comme précédemment , que pour des valeurs de X plus petites que a?*, aéeXaf étant supposées d’abord réelles et inégales, toutes deux posiiites , et polir fixer les idées jr'< a?*, X — af et a? — seront deux quantités négatives, dont le produit sera positif; par conséquent n étant positif,

sera toujours réel.

Pour, a? >• x' et < a?*, Y est imaginaire , et la courbe n’existe pas enti-e les ordonnées PA , P'A’.

Enfin à a! > af, et par conséquent x > x\ correspondent ; toujours des valeurs réelles de Y : donc la courbe , composéfe dé deux branches , s’étend indéfiniment de l’autre côté de l'or- ' donnée A'P' , comme elle s’étendait indéfiniment de ce côté de • l’Ordonnée AP. . • >

11 n’est pas nécessaire de discuter les valeurs négatives données à X , puisqu’elles peuvent être considérées comme numériquement plus petites que x'. Au surplus , on reconnaîtra facilement que pour des valeurs de a? < 0 , x~x\ x— x’' sont toujours négatifs, et par conséquent Y est toujours réel.

En donnant à x des valeurs plus petites que x' et plus grandes

que pn obtiendra pour Y des valeurs réelles, et par conséquent des points de la courbe ; et la construction dans chaque cas particulier montrera que la conrbe a la forme indiquée fig. 15. * On donne aux courbes du deuxième degré du second genre le - nom ^hyperbole». «

59. Si les racines JT', a?" , sont égales ; la valeur générale,*

devenue • ' ' ,

y = oa?-i-A r±— ar'), .

représente deux lignés droites HH', KK' (fig. 16), dont les équaétions sont .. .. .

et qui se coupent sur le diamètre en un point l , dont l’absent 'est âf'. En effet , en faisant a? = aj*, les équations dos droites se réduisent à y =: aa; -(- 4 , équation du diamètre.

60. Lorsque les racines ar", sont imaginaires, l’hyperbole ne rencontre pas le diamètre. La quantité sous le radical devant rester toujours positive, quelque valeur qu’on donne à x, chaque

• valeur de a? donnera toujours pour Y une double valeur réelle , et par suite deux points de la courbe, situés l’un au dessus, l’autre au dessous du diamètre. ’’

On obtiendra donc encore deux brandies indéfinies , séparées par le diamètre DD', fig. 17.

, 61. Pour trouver les points où la courbe se rapproche - le

î plus du diamètre DD' , reprenons l’expression

.-ù' ’'=nl^"(*+«y+(î-0 ,■

' On volt que Y sera le plus petit possible lorsque a? == — •

(K’allleurs ? ~ doit être positif ; autrement la quantité- sous

— uo —

le radical égalée à zéro donnerait pour x deux valeurs réelles^ contre l'hypothèse.

On prendra donc OM ==: — ^ ; par le point M on mènera l’or-

donnée MCA', qui déterminera le point C, à partir duquel on portera sur l’ordonnée dés valcürs"CA, CA', égales à

et les points A, A', seront les points de la courbe les plus rapprochés du diamètre; et par conséquent la courbe s’étend indéfiniment en deçà et au delà des droites GH, EF,- parallèles au diamètre, et qui ne font que toucher la courbe aux points. A et A'.

On démontrerait , comme au n° 55, que le point C est le centre de la courbe; que les diamètres AA', BB', soAt conjugués entre eux;.queles tangentes A'F, AH, sont parallèles au diamètre BB' conjugué de AA', qui passe par les points de contact.