TRANSFORMATION DES COORDONNÉES
5. Trouver l’expression de la<disianoe des deux points rapportés à deux axes
quelconques (fig. 2). ’ ' ' ’ •
• Soient a?'; ÿ, af, y*, «les coordonnées d« ces points rapportées
à des axes quelconques, OX, OŸ, faisant entre eux un angle 9 , de sorte que ' ' ' a:' =r OP , 'af ^ OP' , ' ^
y'=-MP,V = M'P. " ’■ : ' 4
Du point M' menons M'Q parallèle à OX •' d’après une proposition connue de trigonométrie on a, , ^
ftÏM'^ = + MQ2 — 2 M'Q . MQ cosMQM'. '
Or par construction \
■ M'Q’ = P'P = Ôp -- OP' = a;» — a^ , ' ’ '
MQ = MP — PQ = MP -T- M'P' = ÿ' — y% cos MQM^ = cos CÏOO® — MQB) =: — cos MQR = — cos 9.
SubstituaiU ccs valeurs , et désignant par D la distance des deux points donnés , on obtiendra ‘ ,
D^=(’a:' — a;*)* -f- (y,'— y')^ -|- 2 (a;' — ar*j (y* — y*)oosO; (D)
Si , au lieu de rapporter la position des deux points donnés à des axes obliques, on avait fait choix d’axes coordonnés rectangulaires, c’est-à-dire si l’on fait 0z=lOO° pt cos9 =a0, dans l’expression de la distance de ces poidts on trouve '■ := (ar' — x’y -j- (y' — y’'fl
. Si l’on avait pris pour origine des axes l’un des points donnés, M' par exemple ,. ces axes étant d’ailleurs quelconques , à cause de , *• ^ 0 , y* := 0 , • ,
l’expression de la distance serait ■ '
, D* z=z -(- y'^ ^ 2ir'y' cos 9 ; ’ , '
et, si dans cette yiâme hypothèse l’angle'des axes était lUn angle droit , l’expression de la distance deviendrait
Eiifîn , si l’on suppose que , l’origine des axes étant à l’un des points, à M' pqr exemple, l’autre [^int se' trouve sur l'un des axes , on aura il ,
ou / D == y* ,
selon que le point se trouve sur l’axe Ses' x bu sur l'axe des y.
6. Oh voit , par les diverses transformtNions qu’a subies la for-
n)ule D, rulilité de faire un choix d’axes coordonnés qui permettent d’exprimer par des formules siqiples les relations des quantités géométriques.
On doit toujours avoir soin de prendre .pour axes coordonnés, les lignes mêmes de l/i figure géométrique tracée dans le plan » surtout quand on a pour objet d’étudier les propriétés de ces figures ; de cette manière, les points), les lignes, déterminés par le calcul , se trouvent rapportes à des droites connues et parfaitement déterniinées.Toutefois, il peut arriver que, les équations algébriques ainsi trouvées n’étant pas assez simplifiées , on ait de la peine à reconnaître la nature des lignes que ces équations représentent. Nous allons faire voir qu’on peut facilement passer d’un système d'axes à un autre système , en changeant la valeur des variables qui entrent dans la première équation trouvée.
Supppsonsque, pour un système d’axes tels que OX, OY(6g. 3), faisant entre eux un angle quelconque 9 , on ait obtenu une équation *
Soit M un point quelconque dont les coordonnées OP = jt , MP = ÿ, sont rapportées itices axes ; soient O’X’, O’Y’, un aiitre système d’axes dirigés d’une manière quelconque, comme les premiers: les coordonnées dn point M, rapportées à ces nouveaux axes, seront ' .
^ OP' 3= , MP' = ÿ',
et la direction aiqsi que la situation de ces nouveaux axes seront déterminées , par rafiport ^ux premiers , si l’on connaît OA = a , O’Â := b , coor<lonnées de la nouvelle origine , ainsi que les angles X’0’B =i3a, Y’0’B=a’, que font les nouveaux axes avec l’ancien axe OX, ou sa parallèle O'B menée par le {loipt O*.
11 s’agit donc de déterminer x-el y anciens en fonction de x', y', a, et , comme ces coordonnées sont celles d’un point quelconque de la ligne dont l’éqüalion rapportée aux anciens axes était
la substitution des valëurs qu’on obtiendra donnera nue nouvelle équ|itioo' • ..•>
F' {ûf, y', K, a') = 0, »*. •.
qui représentera la même ligne rapportée aux axes nouveaux.
• Si l’on mène P'Q par«dléle A.41B ou à OX , ét P'S parallèle üt
OY, on voit facilement , par suite de cette construction , (^ue '■ ÔP = :pi=OA + AS+ SP=OA-f 0'T+ Pq/
MP = y = PR + RQ + QM== O'A + P'T 4- MQ.
, Les triangle^ O'P'T, MP'Q , donnent, d’après un principe connu de trigonométrie ,
Ô'T P’T , O'P' sin O'P'T. sin P'O'T sin (^TP'-’
' , “ ■ MQ MP' - - ’
sin P'MQ ^ sin MP'Q sin Ï"QM'
Or, fl est facile de voir que - • . '
V ^ O'P'T = P'TR — PyR = (9 — a),
. \ ■ P'MQ = MQC - MP'Q = (6— a'), '
et , sin O'TP' = sin JP'TR = sm 9 , j •.
sin PQM = sin MQC = sin 0.
On aura donc , en substituant ces valeurs ,
O'P' sin O'P'T' jr' sin (6 — a)
sin O'TP' sin 0' '
pi.'p O'P' sin P'O'T sin »
sin O'TP' sin 6 ‘
p,„ MP' sin P'MQ __ y' sin (0 — g')
" sin P'OM “ sin ’0 *
sin P'QAJ
MP’ sin MP'Q sial%g
sin
x' sin a!
sin e
Et par conséquent
. , jr* sin (0 — a) y' sin (9 — a')
sin 6
. , , ar' sin « -4- y' sin «' '
^ • * «in 0
Telles sont les formules qui serviront à ti-atufqrmer directement V équation d'wM ligne rapportiè à det axee obliqiiei en une autre équation de leetnême ligne rapportée à étçiêtreM axee obliques. , > , . , ;
