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plus de plus en plus , et qu’enhu popr x = œ celte quantité deviendra nulle : ce qui indique que la courbe tend de plus en
Di
pins à se rapprocher de la droite SS', qu’elle n'alteint qu’à une distance infinie de l’origine ; on obtient ainsi un arc indéfini AG. En donnant à af des valeurs négatives à partir de zéro, la
quantité restérapositive jusqu'à ce qu’onarriveà^=-^,
vàleur qui rendra cette quantité ihfipie.
• Si l’on porte donc cette valeur de O en B, et qu’on mène, par le point B, TBT' parallèle à l’axe des ordonnées, la droite BT ne sera rencontrée parja courbe qu’à l’infini , ce qui donnera un second arc AH de la même branche indéfinie HAG. >.
Poiir des valeurs négaiivesde x plus grandes que ar=r — gi=OB, la quantité deviendra négative, et à chacune des valeurs
de X, *=OC,' CO rrespondra une valeur particulière
Or, en faisant décroître x de OD jusqu’à
menlera négativement depuis’DM ju^u’à l’infini, et l’on obrient ainsi une portion MK de l'autre branche de la courbe. Enfin , en
faisant croître' négativement x, de x — OD jusqu à 1 infini, |
décroît ju^u’à devenir nul, et la courbe se rapproche de plus en . plus de la droite SS',, ce qui fournit encore une partie Uk de la secondé branche indéfinie ûMK.
Les droites SS' , -TT', qui jouissent de la propriété remarquable d’approcher indéfiniment de Thyperbole sans,^ jamais l’atleiildre, ont reçu le nom d’asymplptes. , ^
On remarquera que l’une des asymptotes dont les équations
sont r : .y
est parallèle à .l’axe des ordonnées dont le carré manque dans , i’équation.
Si en faisant la division on n’obtenait aucun reste, c’est-àdire al < = 0 , comme généralement
' '■ (y — rj; — «)‘(Ba:-|- D)= r,
on aurait dans de cas parlieuliér
(ÿ — rj:— »).(Bx + D) — 0;
, y—rx—t — Q, \
. Bar D = 0,
équations de deux droites dont l’une est parallèle ù l’axe des y.
Donc , lorsqu’une équation du deuxième degré manque du terme en y^ , elle représente toujours soit une hyperbole , dont l’une des asymptotes èst parallèle à l'axe des y , soit deux lignes droites dont Ttine est parallèle b ce même axe.
Et, en général, ce que l’on démontrera aisément, toutes les fois qu’une équation du deuxième degré manque du carré d’une des variables , elle représente toujours soit une hyperbole.ayant une asymptote parallèle à l’axe de celle des coordonnées dont le carré manque , soit deux droites dont l’une est parallèle à ce même axe. ' / '■ •
Et, par conséquent encore, si les deux caf rés manquent b la fois, réq,uaüon du deuxième degré représente soit une hyperbole. dont les asymptotes sont parallèles aux deux axes , soit deux droites parallèles à ces axes.
3“* GEHRE : B* — tiAC = 0.
Courbes illimitée» 'seulement dan» deux sens par rapport à t origine.
63. Lorsque n ou B^ — 4 AC = 0 , la valeur de l'ordonnée de la courbe se réduit b f
y = ax-\-b±~]/’ipx-Jrq- *
*> Après avoir construit le diamètre DD' (fig. 19) , on déterminera le point A où la courbe le rencontre ^ en résol-
vant l’équation du premier degré ar-}-~ = 0. Soit x’ la valeur
de X tirée de cette équation ; la quantité Y se mettra sous la forme - ' ^ ~ ^ ip{x — x>).
Si P est positif et sé positif, on voit que pour des valeurs né-
gatives de ar , et pour dos valeurs positives plus petites que x' ,
Y sera imaginaire ; ensuite*, qu’à partir du- point A , pour lequel a? = ar' et Y = 0 , la valeur de Y eroît de plus en plus jusqu’à l’infini pour des valeurs croissantes de a; : la courbe présente donc la forme telle qu’elle est indiquée (fig. 19) , et elle s’étend au delà de la droite PA , qu’elle touche au point A , ayant une seule branche indéfinie dans les deux sens.
On a donné à ces courbes du troisième genre le nom de'^para- ' bolet. On verra bientôt la raison de ces dénominations des trois courbes du deuxiènie degré. 1 '
Si P était négatif, x' étant toujours positif, la courbe aurait une position inverse et s’étendrait à l’infini dans le sens des, abscisses négatives (fig. 20;. • - , - ;
Si ar' était négatif, étant positif, la courbe s’étendrait dans le sens des abscisses positives dans le même hypothèse .pour ai' ; si P était négatif, elle s’étendrait dans le sens des abscisses négatives. , V ■ ^
‘ . ii.vi . ; . i.i':
Si/>=0, la valeurdey, réduite'à; « i ..ac»; y = oar-l-ii^K5‘,
représente deux droites paralfèles à la droite y ='aar A , et à égale distance de cette droite si y > 0. , -•
^ Si 9 = 0, ces deux droites se réduirontà un seul diamètre, y = oa? -j- A.
Enfin , si y < 0 , la courbe n’existe pas.
Si A = 0 et B = 0 en même temps , on résoudrait l’équation
par rapport à ar , et l’on trouverait une expression de la forme ’
^== — ^ ^ V— àCüy 4- E" — àCF, '•
que l’on discnteraît comme précédemment^
Puisque — iAC = 0 , f équatipn représente encore une parabole ayant pour diamètre une droite
parallèle à l’axe des y, dont le carré manque dans l’équation-,.
'Si B 0 et C = 0 en même temps , l’éqnarion représente une parabole dont le diamètre est parallèle à l’axe des x.
04. Il résulte de celte discussion quq toute équation du deuxième degr.é èntre deul inconnues x et y, de la forme
Aÿ’ -J- Bofy ^ -J- Dÿ 4" "j" ^ ® >
représente i
c . l' B*— uc<o, ...
soit une ellipse, soit un point, soit une courbe imaginaire;
.r 2* B^ — êAC>0,
soit une hyperbole , soit deux droites convergentes ;
•3-B2 — ûAC = 0, '
soit une parabole , soit deux droites parallèles,, soit une seule droite ;
Et qu’on peut distinguer le genre etl’éspèce de chaque genre à la vue seule de l’équation. ^ '■
Que dans les trois. genres de courbes, ellipses, hyperboles, paraboles, on distingue des éléments communs : centre, cordes, diamètres , tangentes , etc. ’
Notis examinerous bientôt' successivement les propriétés de ces éléments par rapport é la courbe, ainsi que d’autres propriétés que celle construction préliminaire ne permet pas encore de feconualtre ' ^
Les raisonnements précédents serviront dans chaqûè ' cas particuliers à faire reconnaître le genre de la courbe, lieu géométrique d’une équation donnée du deuxième degré, et à arriver à lu' détermination de sa forme au moyen de la construction par points indiquée dans la discussion ; mais 'nous parviendrons bientôt à un moyen jde construction plus simple et moins sujet à erreur. . . ' i .< }
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