On a vu (74) que i’équalion

+ Na:2 j P 0

représente une hyperbole lorsque M et N sont de signes contraires ; et comme on peut toujours faire en sorte que le coefficient de soit positif, en supposant d’abord P positif, on aura

— Njp2-|-P = 0. ’ •

Pour y = 0 , on a

pour ar = 0 ,

et.posanl' [/'£ = A„ ;

réquation de la courbe , devenue ■

y Ay — BV = -A*B* ou ^-^ + 1 = 0,

sera rapportée à son centi;e et à deux diamètres conjugués 2A , 2B , dont le, premier seul rencontre là courbe, ce qui lui a fait donner le nom de diamètre irantverse.

On remarquera que la courbe ne rencontre pas l’axe desy , yo étant évidemment imaginaire; maison est convenu de regarder

comme le second diamètrede la courbe la quantité réelle

Si P était négatif, l’axe des x ne rencontrerait pas la courbe, qui serait dans une position inverse -à la précédente. On peut dès lors ne considérer que la première forme de l’équation. La valeur générale de l’ordoiibée dè la courbe étant "

on voit qiie,^our des' valeurs croissantes depuis a: = 0 jusqu’à a; = àz'h', la courbe n’existe pas ; maisflu’à partir de cette dernière valeur de x jusqu’à a? =: ±: « , on a toujours pour y deux valeurs réelles , égales et de signe contraire. . j ‘p

' L,y (îoogle.

Pour obienirv auiant de points qu’on voudra de la courbe, OA,OB, étant les deux diamètres conjugués de l’hyperbole (fig. 27 V soit pris sur le diamètre transverse un point P, tel que ^ ~~.^P ^ OA^ et par le point P soit menée l’ordonnée indéfinie MP. Au po'int O on élèvertf OD, perpeitdiculaire et égale à OA , et du point D comme centre, et d’un rayon DI == OP, on décrira un arc de cercle, qui coupera OA'en deux points I, I', par lesquels ou tirera IQ, l'Q', parallèles à AB; et enfin, des points Q, Q* , les droites indéfinies QAI , Q'N, qui détermineront des points M et N de la courbe; et, si l’on a pris OP'=:OP, et mené l’ordonnée indéfinie P'M', les points M', N'.

En effet on a ' ■

MP= OQ = or|S= “ ^1573555=“

et y = ^ A*- ' . , . • .

2' constrtMtion, Cette construction se simplifie élégamment de la manière suivante : -

Au point O élevez OD perpendiculaire' et égalé à' OA, axe Iransverse ; divisez OA en un nombre quelconque de parties égales , ''telles que O», et par les points de division t menez les droites /ÿ, parallèles -à AB et ensuite »D. Par les point -q tirez, pa^ rallèlement à OA , des droites indéfinies qm , sur lesquelles vous prendrez qm = qm' *D : les points m , wi' , apparliendrontà la coifrbe. , . • , ' ^

En prenant. og, et menant q'n indéfinie. Sur laqodie on prendra qn = ,çn'=: »D , on obtiendra deux nouveaux points de l’hyperbole. • ,

On Yoitj d’après cette construction, comment, étant, donnés le diamètre traiisverse, la direction du diamètre non traiyversej et un point de l’hyperbole , on pourra déternlkincr la longueur du diamètre non transverse , et ;p ar conséquent construireila courbe. ' ‘ ’

83. Si les diamètres sont perpendiculaires , la construction est plus si^le : la droite OD se confondant avec ^B , lâ'cburbe est &ymétHque par rapport ù ses axe» ou diamètres principaux. '' Les extrémités de^l’axe transverse sontlès ro/ntnri(> de l’hyperbole. . ' , • - i V.-, ' . -î»; • • I • '

Digil^cd by C

, THÉORÈME

Deux bypérWes sont égales lorsque leurs axes sont égaux.

Si les diamètres conjugués sont égaux, il suffira de diviser OR= OA en ‘parties 'égales , telles que Oq ; puis de mener par les points q , q', des parallèles qm , qn , sur lesquelles on prendr.a qm ~ qth' , èt qn — qn' , égales à çD', OD' étant perpendiculaire et égal à OB. •

Lorsque les diamètres conjugués rectangulaires sont égaux , on dit que l’hyperbole est équilatère ; son équation est de la forme = — A*. On verra par la suite que l’hyperbole

ne peut avoir de diamètres conjugués égaux que lorsqu elle est équilatère (177).

03. Étant donnés de grandeur et de position deux diamètres conjugués de

l’bypcrbole , et une droite passant par le centre , déterminer graphiquement tes points d'intersection de la droite et de la courbe.

Nous nous bornerons à indiquer la solution , et nous renverrons au n“ 79 pour les développements analytiques , qui sont à peu de chose près les mêmes.

OA, QB (lig. 28), étant les deux diamètres conjugués donnés , et ÜMD la droite donnée passant par le centre 0 , par le .point B, extrémité du diamètre non transverse, menez BD , parallèle à OA et rencontrant en D la droite donnée. Au point 0 élevez sur OA la perpendiculaire indéfinie 011 , et prenez OC = OC\= OA; ensuite, du point A comme centre, et d’un rayon égal à BD ^ OP , décrivez un arc de cercle qui coupe la perpendiculaire OH en un point I ; joignez fD , et par les points C et C' menez, parallèlement à ID, les droites CM , qui détermineront les points demandés M et M'.

On pourrait se servir de cetlc solution pour construire l’hyperbole sur deux diamètres conjugués donnés de grandeur cl de’ position ; mais , celte construction étant peu élégante , nous ne nous y arrêterons pas. '

Remarque. Si l’on désigne par p la distance du centre de 1 hyperbole à un point quelconque a: , ÿ, de la courbe rapportée à son centre et à ses axes,

Al/ - B2*2 = - A=>B=^,

on troate

= + y2 =ir2 ^ g ^ (A^ +6^)^^ -. ^2

dont le m»«/m«m correspond à la plus petite valeur de* , laquelle est * = ± A ; d’où /) = ±1 A. • .

THÉORÈME. ' ,

Oo poinra, d'après ce«e propriélé, éuot doDnëe l’éqnatiaii de 1 hyperbole, déterminer la grandeur du demi-axe tranyerse, . connaissant le centre de la courbe.

THÉORÈME

mu^Ip A™n J'yperiwle, ainsi que dans l’cUipse, le carré de la danl-coide pi^e à un di^tre est au rectangle des segments détenninés par eUe sur le

diamètre conjugué dans un rapport constant. . raroie su^ le

.Ce qu’on peut voir facilement par l’équation même de la courbe , mise sous la forme ' '

Et ce rapport, constant dans l’hjperbole comme dans l’ëllipse! est 1

port des carrés des diamètres conjugués. ■-

laantp-