CONSTRUCTION DE LA PABABOLE

ÉTAHT DOHiriÊS üît. SYSTÈME d’aXES COKJÙGUÉS ET LE PAKAMÈTRK ’ . BIA.MÈTRE BONKé!

«5. L’^équation la filus simple de la parabole est

et alors elle est rapportée à un sysièpie d’axes conjugués , dont l uD eët le diamètre passant par l’oHgine des axes, qui est un point de la courbe , et l’Rutre la tangente en ce point. ‘ ’

Le coefCcient de *, 2/? , sé nomme le pai^amètre du diamètre auquel I9 épurbe est rapportée. ' ’

Sftus. cette forme simple on' reconnaît facilément la 'marche de 1 ordonnée ; * croissant depuis 0 jusqu’à bo , si 2j> est positif, 1 ordonnée aura toujours deux valeurs réelles égales et de signe contraire , croissant depuis 0 jusqu’à l’infini. Par conséquent la

courbe s’étend indéfiniment dans le sens des abscisses positives; et elle est limitée par la tangepte , car , pour une valeur quelconque négative de x , l’ordonnée est imaginaire-

On voit encore que le diamètre ne rencontre la courbe qu’à l'origine.

Si 2/> est négatif, la edurbe au contraire s’étend indéfiniment du cdlé des abscisses négatives-

THÉORÈME

Dans toute parabole le carré de la demi-K»rde parallèle à la tan0[eme est égal au rectangle du segment déterminé par elle sur le diamètre conjugué à la tangente, et le paramètre à ce diamètre ,

ainsi qu’on le rccpnnait par l'équation même de la courbe.

86. Pour construire la parabole y^lpx^ connaissant une tangente.OT (fig. 29) , le diamètre OD passant par le point de contact O, et le paramètre 2p à ce diamètre, onjprendra surOD prolongé une longueur OL = 2/> , et l’on mènera la^^perpendiculaire , indéfinie OH sur OD ; ensuite on marquera autant de points C qu’on voudra sur LPD, et de chacun de ces points comme centre on décrira des arcs de cercle , qui couperont la perpendiculaire OH en des points tels que Ij et le diamètre en des points tels que P; enfin , de chacun des points P on mènera parallèlement à la tangente OT l’ordonnée indéfinie PM, sur laquelle on prendra PM PM' = 01; les points M et M' sont des points de la courbe.

En effet on a» dans le cercle, PM^ = ÔP = OL . OP , d’après la propriété des demi - cordes perpendiculaires sur le diamètre.

Si la tangente est perpendiculaire à l’extrémité du diamètre, " qui devient alors le diamètre principal , ou l'axe de la parabole , la construction est encore plus simple. ,

Les ordonnées MP'(fig. .30) étant parallèles à OT, il suffira de mener par chacun des points I , déterminés comme il a été dit' ci-dessus , des parallèles à l’axe OA ,'qui donneront , par leur intersection avec les ordonnées MP, autant de points M, M', delà courbe. La courbe est sytnétrique par rapport à l’axe. OL est le paramètre du diamètre principal; on le désigne particulièrement sous le nom Ad param'etreiX) o\x,eûté de l'angle droit {l).

(1) Paratnétrr, mrsure, terme de comparaison des courbes.

(î) Latut rectum. On verra bientét d’où vient celte dénomination. ' ’

" ' ■ ■ '■ .THÉORÈME, r - ■ ' •

. - ** ” . ^ ' • Deux parabolcssont égales lorsqueleurs paramètres sont ^ux. , ,

^ Etant donnés un diamètre quelconque et la tangente à l'extrémité de ce diamètre , il suffira de connaître un seul point de la parabole pour trouver le paramètre , et construire la courbe (86). - ’ ' '

88. Étant donnés nn diamètre de la parabole ,1a tanuenteà|rexiiiémité de ce diamètre et le paramètre du système, trouver le poiiit d’inteisection d'nne droKe quelconque passant par l’origine.

Soient l’équation de la .parabole rapportée

- , - J •• à ce système d’axes,

' y—ax celle de la droite donnée ,

et , la distance de l’origine an point, d’intersection cherché:

on aura P* — 2a:y cos ft;

et , par une élimination facile, on trouvera . ,

(>•== “ K 1 -f- 2a cos 6.

Soit pris , sur ' la tangente OT ( lig. 31 ) , OP = 2^ , paramètre donné , et PR menée parallèlement au diamètre donné OD : .

il est évident que et de là

•OP

« — pg.

OP . OR P— pj^

Prenant "donc, s;ir OTj OS = PR, et naenant SM parallèle i OD, le point M sera le point cherché.

Cette solution, fournit un moyen bien simple dé construire la parabole connaissant un système d’axés conjugués et le paramètre du système. Nous laissons le soin de faire la construction»