DES LIGNES DU I" DEGRÉ

m. L’équation générale du degré m , entre deux inconnues « et 2/ de la forme * . — ' . . . .. . > •

Ay"' + (Bar -f C) ‘ -f (Dar^ |àB,+ F) y” ~ , etc. ^ = 0 y

86 compose dd w -f- 1 termes en y, dont les coefficient , fonctions de ar, à l’exception du premier, contiennent successivement If 2, 3, etc. , termes : par conséquent le nombre total des ^termes de l’équation est la sommé des ?n -^1 termes delà progression naturelle 1, 2 , 3 , 4 etc. ; m -f- 1. D’après une formule cpnuue , le pombre total, des terjnes ^ra dope exprimé par

n; (m 1) (nv -f- a) < ■ ..

*Sim = l, . . S=^-^ = 3.

Et en effet i’éqnption la pins générale do premier degréàdéqix inconnues est de la forme .. '.i .

Ay 47 Ba? + 'Oyv) ^ ‘ ‘

dans laquelle les quanlilés A, B, C, sont des cotulanteê , c’està-dire des quantités indépendantes de a? et de y , mais qui peur vent être positives, négatives ou même nulles. ^

Pour reconnaître la nature de la ligue exprimée par celle équation, jeety étant les coordonnées d’un point quelconque de celle ligne , rapportées à des axes fixes , et déterminées d’après la méthode indiquée (3) , on la résoudra par rapport à y , et l’on trouvera

Soit fait pour abréger — ^=a, — — = o,

on aura ” • y = ax -}- A. ‘ O)

Soient OX, OY, les axes fixes auxquels les coordonnées sont rapportées; nous les. supposerons obliques pour plus de généralité. Donnons à x une valeur quelconque , x = OP (fig. 4) , et par le point P menons àOY une parallèle PM, sur laquelle nous prendrons une longueur PM = a . OP -j- A : le point M sera ainsi déterminé , puisque les quanlilés a et A sont connues.

En répétant autant de fois qu’on voudra la même construction, on obtiendra autant de points M, M', M*, de la ligne représentée par l’équation (1).

En rapprochant les unes des autres les valeurs données à x, on obtiendra pour y des valeurs aussi rapprochées qu’on voudra : en effet , x', x', étant deux valeurs données à x et y', y*, les \n* leurs correspondantes d,e y, on aura les deux relations ^

■ ' y' = ox' -}- A,

' • , y» = ax* -f- A , •

d’où

Or, ài mesure que x' — x* diminuera, la différence y' — y* décroîtra jusqu’à devenif plus petite que toute quantité donnée.

Il suffira donc d’unir par une ligne continue tous les poitits ainsi obtenus , et cqtte ligne sera le lieu géométrique de l’équation (1).

13. Examinons s’il ne serait pas possible d’abréger ce travail en étudiant les propriétés de la ligne elle-même.

I^enons sur l’axe des y une longueur OH égale à A : le point

U est évidemment un point de cette ligne , j)uis<iue ÿ = b est la .valeur de y correspondante à a? =: 0; et par le point H menons HQ parallèle à OX. D’après l'équation (1) , mise sous la forme

on doit avoir ' ^ ;