MP — 0H' M'P' - OIÏ M»P» — OH -, OP “ OP' ~ OP
MQ M'Q’ M'Q»
• HQ “ HQ' ■“ HQ» “ “ ;■
par conséquent tous les points M , M', M»,'etc. , se trouvent sur une ligne droite passant par le point H. ,
En effet, supposons pour un moment que le point M', par * exemple y > ne soit, pas sur la ligne droile.^ui joint les points H et M , et soit m le point où M'mP' parallèle à OY rencontre la droite HM ■. à cause de la similitutle des triangles HMQ , -H/ùQ', on aura . - ,>*•
MQ wiQ' . ; ■ . .
■ . ‘ ^ . HQ.-jîQ^’ . ;
mais déjà l’on avait ■ jvfQ M'Q' .
HQ “ W ■ ' ' .
donc '' ' ' mQ' — MQ'; , ‘ ‘
jee qui est impossible , à moins que le point M' ne se confonde avec le point m. •
, ' ' 14. Nous pouvons donc conclure de cette analyse générale :
Toute équation du premier degré représente une ligne droite^ ^
Réciproquement, une ligne droite ne peut être rq>résentëe que par une éqsaUon du premier degré. -,
En effet, HMM'M*' étant cette ligne,. qui coupe l’axe des une
distance de l’origine OH , si l’on mène jlQ parallèle à l’axe des jf*et les ordonnées MP, M'P',’M»P% etc.-, d’après la similitude des' triangles HMQ , HM'Q', HM*Q*,.. etc. , on aura ■
MQ M'Q' M»Q*
.. V HQ “ HQ' ~ . , ,
et, en désignant par x, y, x', y', tr», y', lés coordonnées dos points M», etOHpariô,
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, Lizi = î!lr;i=l!l^ = eic.; ■ •
on exprimera donc cette relation constante entre les ordonnées et lesohscisses de chaque point par la formule générale
a exprimant le rapport constant ; ■ '
d’où I ' , y = ax h , —
équation du 1»' degré en ar et y.
• lU. On a vn qiie , dans une équation de la forme '• - ^
y = ax + b J I '
la quantité 'indépendante b exprime ladistancè.deferigineau point où la droite, rencontre Taxe des y / il s’agit de üx)urer ce qu’exprime la constante a par rapport aux axes auxquels la droite est rhppftrtée. - • ‘
Polir, cela on a les rapports constants . . •
MQ M'Q' M'Q» . ■ '
HQ “ HQ' “ HQ» ’ ;
or dans le triangle HMQ d’après une formule trigonométrique
connue, ' .
• »MQ sin ^ÏHQ sin MGX,
sin HMQ
HQ>
donc
sin MHY
sin MGX ' • sin MHF
C'est-i-dire que le coeffident de x, dans tonte équation du premier dejjré-résd» lu&par rapport à y, exprime le rapport des sinus des anjles que la droite, représen^ par cette équation, fait avec l’aM des a; et l'axe des y.' r
Désignant donc par 6 l’angle des axes, par a l’angle qne la daoitfe f|it avec l’axe des a: , 6 — « exprhnera l’angle qu’elle fait avec l’axe des y, et l’on aura ' '
sin a .• '
,Si OrïKKlo,
Et par conséquent,
'■ sin (ô — a)' sin a
cos a
= tang a.
Dans toute équation de ligne droite rapportée ù^des-^xes reciangôhires, réscduc par rapport & p, là coefficient de a; e^rime la tangente de l'angle que la droite lait arec l’axe des x. I
■ Si ji 1 , quels que soient les axes / on a ■
V sin a r= sin (0 — a) , , • '
d’où • ' • a =r i 0 : *
donc foute équafioti de la forme y = a? + reprétente une droite qui fait det onglet égaux avec chacun det axet coordonnée., ' :
Si £ = 0 , l’é quation y — ax représente.une droite passant par l'origine ; et réciproquement toute droite pattant part origine a ton équation de la forme y — ax.
, IG. Maintenant que l'on sait qu’une équation du premier de^ gré ne peut représenter qu’une droite, il sera très facile de construire le lieu géométrique d’une équation du premier degré , puisque deux points suffisent pour déterminer la direcliovd’une droite.
* « » • Supposons d’abord que, les axes étant quelconques , l’équation soit de la forme générale
Ay -{- Ba: C =: 0 : ' '
on fera ap = 0 , d’où Uq •
çe qui déterminera un point N (^fig. 1) sur l’axé des y,- ensuite
ce qui déterminera un nouveau point M sur J’axe des x , et par conséquent la droite MN sera le lieu géométrique de l’équation proposée. , , '
Si l’équation.est de là forme ^ ^ •
Ay -j- Ba;'=: 0 , •
comme en faisant a? = 0 on trouve y>== Ô , et réciproquement , on ne peut déierminér par ce moyen qu'un seul point de ladroir te , qui est le point môme de l’origine ; mais on pourra açbever de déterminer sa direction, soit en donnant à a? une valeur quelconque , • ' i
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a? = />, d’où y — J P,
ce qui délorrainera Sa second point de la droite ; soit en déterminant l’angle qu’elle fait avec l’axe des par exemple. . Pi>ur cela , en faisant pour abréger • ’
on a (15)
sin cc
sin (9 — a) ’
équation (Toùl’on tîrcrada yaleur de «. En effet, à cause de sin (0 — “) =7 sin 0 cos a — ^ sin « cos 0 , on aura a sin 0 cos a — sfn a Cos 0 = sin a ,
Sin a
co s a
En mettant l’équation
a sin 0 cos 0'
-, sin a
sous la furme ’a =:
oh trouverait de même
sin (0 — a)
sin [0 — (0 — g)] sjn (0 — a)~
/ . ,,.iang(0-a; = ^
Si l’équation était de la forme
sin 0
cos 0
. ' Aÿ -j- C = .0 , • .
à cause de B = 0 , o'n a tang « = 0 , d’où « — 0 ou 200°, et la droite fait un angle nul. avec l’axe des a? , c’est-à-dii-e qu’elle est parallèle à l’axe des a; rencontrant l’axe deà y à une distance de l’origine*exprimée par ÿ=: — ^ •
■' De même l’équation •
* Bar -f C == O'
représente une parallèle à l’axe des y rencontrant l’axe des t 3
line distance de l’origine exprimée par x — — r-.
En élïet, A étant égala 0 , a devient infini , et '
tang (0 — «) =:'0,‘ d’où = 0. ' •
On aurait obtenu le môme résultat de la formule
a sin 9 sin B
tang a =: J O cos ô
cos 0 "
car, en faisant o rs <=® > on a ' , ^
tang « = ^ = ‘ans ® “ = ®*
Enfin , Aÿ =: 0 , B f = 0 , qui se réduisent à y = 0 , x = 0 , représentent les axes eux-mêmes. , ^
