AI

équation d’une parabole quia lé même' diamètre que la'parabole proposée. ' (

Donc ■ ' . .• ' ^ ;- V. ■ . •

Deux paraboles égales coostràites sur un môme dramétre et dirigées dans le même sens sont rédproqnemeat Uymptotes l'upede l'autre.

OS. 9« cas. Enfin ^ si n. < 0 , et la courbe est alors upe ellipse , pn voit que, potir un nombre quelconque fini de termes de la série, [Z' n sera toujouirs facteur de a? ; et comme f/n est imaginaire, on doit en conclure que

. • ' . '1 • L’ellipse n’a point d’as]miptote ni rectiligne ni courbe^ '

06. NonS'ue t^aitefons ici que des asymptotes rectilignes dont on peut trouver directement les équations de la manière suivante : . t •

Soit y=a»-\rb±.~^na^-\-^x-^q (1)

l’expression générale de l’ordonnée des lignes du 2* degré.

et Y = oX^-<i., ' (2)

l’équation d’une droite quelconque. ^

Si l’on veut que cette droite soit asymptote de la courbe, U faut, d’après b définition des^asymptoies, que la différence de l’ordonnée de la droite et de la courbe correspondante à la même abscisse puisse devenir plus petite que toute quantité donnée, et nulle pour 00.

L’expression <le la diiïérence entre ces ordonnées sera

Y — y= [(ri— o) ~ ^ nx^r{- <Z;

,)àp-|-(d

Ettfin, divisant les deux termes de 4 firaction par a>, pn aura

Or, pour que celte expression puisse devenir nulle qiand on fera a? = <« , il laut nécessairement que l’on ait . ‘ '

' ■ (.c-ay-^,^0, . ■ • • > (8)

l/équation (8) fait voir^que w où B* — 4AC doit être nécessairemeni positif ou nul, c’est-à-dire que k courbe est u»e byç«p-^ bole ou une parabole. ' .

De ces équations Ton tire sané difficulté

dz

=“-ir’

et, substiluaBt ces valeurs dans 1 équatiot ( es équations des asynapiotes reciiKgnes <

; l'équation (2),'bn obtien ectiügnes de l'hyperbole

on

iplotes recungnes ue

Y= [« + ^1 [* + ilfe]

ainsi qu’on les a trouvées par une autre méthode,, (.93 ).

Si n =3 0 on retrouve l’équation du diamètre y = a* -j- A.

• La méthode employée ci-dessus peut servir à faire reconnaître les asymptotes, lorsque l'équation de la courbe contient ies carrés des coordonnées. . ^

On a vu ailleurs (62) comment on les détermine plus focilement encore lorsque les carrés de Tune des inconnues ou des deux à la'fois manquent dans l’équation.

97. Lorsque la courbe est rapportée à son centre , et que son équation est de la forme ' •• • <■ . , ■ . ,•

A et B étant les deux diamètres conjugués' de la courbe, on trouve tout d’abord pour les équations des asyiuptotes '

et l’on conclut que , ^ , ; . .

Les asymptotes de l'hyperbole se confondent avec les diagonales da parallèle* gramme construit sur deux diamètres conjugués quelconques. ' '

Ce qui fournit ub moyen bien simple de,

' Construire lâ dsymptatwderiiTpeTbolp'loniiâ’ah onnhalt le centre et deux dla- Bèlres conjugués de diroctiü'n et de grandeur ; > ' <

et réciproquement dé , •

' Connaissant iés asymptotes et la direction d'un des diamètres, |déterminerU direction deson conjugué. “ •

^ Si les axes conjugués étaient rectangulaires , l’équation des asymptotes ..••*. ,

fait voir que * •

Les axes principaux de l’hyperbole dlvltent en deux parties égales les angles de* esfymptotes. " ^ ■ t

Remarque. Si B=A , c’est-à-dire l’hyperbole est équilatère,

les asymptotes sont perpendiculaires entre elles.

98. La comparaison des ordonnées dè la courbe et de l’asymptote offre une prépriélé remarquable de l’bypqrbole ^ *

DI, • 3..I l.y GlJOgk

EnefTetona ,

d’où 'f- Y* — r2 Bï -

ou' ,• ■; (Y+j)(Y-j)=Ba,

résultat indépendant de a: ■. or, si d’un point P (fig. 82) .onnièbe une sécante PN parallèle au diamètre 2B , on aura

. .. ^ Y+y = PN -f PM, = PN' + PM = MN',

Y— y=PN — PM = MN : ' • ,

donc NM.MN'=B^.

On aurait obtenu de laéme pour une sécante MQ paraUèlç au diamètre 2A, MQ .MQ' = A\., ' .. / î

De là ce théorème :

Si d’un point quelconque d’une'hyperliole on mène nqesécante queloonqne parailèle à un diamètre, le rectangle des parties de in sécante comprises entre ce point -de la courbe et les asymptotes est égal au carré de la moitié de ce diamètre.

On, pourra donc facilemeul résoudre les problèmes suivants :

PROBLÈÏIE. " .

Connaissant les^asymptotes ^ l'iiyperbole , un point* de lacourbe et^la dirtetiond'untUamètre, déterminer les deux diamètres conjugués de grandeur et , direction. ^ '

PROBLÈME. r ' -

Connaissant les asymptotes de l'hyperbole et on point de la courbe , déterminér lés axes de grandeur et dé direction. ' > ' ' ^ '

Connaissant un système de diamètres conjugués de rhyperbole, déterminer les axes de' grandeur etMé direclion. ’ ' 'T'-

99. Le diamètre transverse OAX divise en deux parties égales la tangente D AC au point A, laquelle estparailèle au diamètre conjugué OBy (76) : doue ' '

lia partie d’onelangente àl’byperbole comprise entre les asymptotes est partagée v en deux parties égales au point de contacL

Et dè là la solution de ce problème ^

Connaissant les asymptotes, mener une lan^te à rbyperbtdepariUi point donné de la courbe h. - , • - : •

Il salira denmener par le point donné une droite telle, que la

partie comprise entre deux droites données soit divisée mi çe point en (ieux parties égales. '>

On remarquera , à mesure que le point de tangence s’éloigne de l’origine en se rapprochant d’une asymptote , que le point d’intersection de la tangente ^vec l’aulro asymptote s’en rapproche*, et l’on peut dire que les asymptotes sotU les limites des tangentes à l’hyperbole.

On conclut encore les propriétés suivantes : . ■

. , THÉORÈME. . y \

. Les portions d'une «écante quiconque comprises entre l’hyperbole et ses asymptotes sont ^aies. ,

En effet , soit une sécante quelconque UVV'Ü' ; par le milieu ^ G de la corde V V' si Fou mène le diamètre OG , qui rencontre là courbe au point a , le conjugué de ce diamctre cab sera tangent à la courbe au point a ; et l’on aura , à cause de ae ,

' UG = GÜ', . •

et“ à cause de VG GV'\ ' ^ ' . • t / ^ .

üVa^U'V'. .

' D’après cela on résoudra facilement le problème qui suit

Étant donnés les asymptotes et un point de la courbe, tronrcr anUmt d’autres points qn'on voudra de l'hyperbole, et constmire ainsi la courbe par points.

100. Examinons maintenant successivement lesantres formés de l’équation du deuxième degré , dans le cas où le lieu géométrique est une hyperbole. ai,

Et d’abord Soit A — 0 dans l’équation générale des courbes du deuxième de^é. ' ‘ ,

' On sait (6âJ que l’équation ' ' J ,

B*y -j- (Lr^ Dy -|-E at 4" ® ' ' '

représente une hyperbole , dont une des asymptotes, qu'on sait déterminer (62), est parallèle à Taxe des y. On pourra ; eu trans-’' portant l’origine des axes , au moyen des formules ^

transformer l’équation proposée en une autre de la forme . y

. - - 88 -- Si Ton ‘ fait le calcul Ç on trouvera -

bz=

BV--; , , . . ,

' qui sont précisément les valeurs des coordonnées du centre de )a courbe lorsqu’on y fait A := 0. '■ '

Ensuite en .changeant seulement la direction de l’axe des abscisses ponvelles, et prenant pour l’autre l’asymptote' parallèle à l’ancien axe des ordonnées, on obtiendra une équation réduite »dpla forme - , ' • ’ , ' . . .

, B'ay+p?=ov;' *■ "

ou

> en faisant -

On reconnaiirq promptement par le calcul que le nouvel axe des X se confond avec la seconde asymptote.

J 101, Le même raisonnement s’applique au cas op. l’équation étant de la forme

' Ay2-j-ftry4-Dy + EF4-F = 0, ;

Tnlie des asymptotes seràit^îarallèle à l’axe des a?;

. -El de même aux cas Où l’équation aurait l’une des formes suivantes , • •

Dy-^ fer V'F = 0

^ clUX iX^6S • ^

Dry-f. Dy4- F = 0 f l’«ne des asymptotes est l’axe des s ,

' ~ I \ l’autre parallèle à l’axe des y.

Bary+Er+F^ 0 fEunedes asymptotes estl’axedesy,

' ‘ ’ (\l’aulre parallèle à l’axè des, r. ' '

. Bry'-f-FrsO , . les axes sont les asymptotes. i .. -

108. Il résulte dç là que l’équation de l’hyperbole peut être toujours ramenée à la forme xy En profitant de cetté forme si simple^ de l’équatioU de l’hyperbole rapportée aux asymptotes , on démontrerait facilement toutes lés propositions précédentes , et l’on mettrait en évidence les procédés de con-

strocfibn indiqués. Noosnous bornerons à énoncer un théorème dont la formule est renfermée dans J’équation elle-même.

, ' THÉORÈME.. ' / ■

Dans toute hyperbole l’aiH du paralléloBraidme formé par les **

par lesparallè>e8 menées à ces Ugnes d’un point quelconque de la courbe est

constante. ^

En effet , en désignant par 0 l’angle des asymptotes , on a a?y sin « = A* sin e »

ce qui démontre le théorème.' , at» ap

Soit A (tig. sa) un point quelconqne de 1 hyperbole ; AD, AK, les droites menées du point A parallèlement aux asymptotes Sb , TT' : la droite MAN , menée piar ,1e point A telle que AM == AN , est tangente à la courbe (99) , et parallèle aù diamètre conjugu de AÜA' passant par le point A.

■ On a par conséquent , à cause de OD — DN ,

parallélog. ODAe«= triangle OAN =i ^ OM N = M NPQ.

, Donc •

L’aire constante est égale à la huitième partie du deux diamètres conjugués quelconques, et par conséquent à la ui P rectangle constrnit sur les axes principaux.

D’où l’on conclut encore : ' ' • ■ , '' ‘ ^

• . . ' , THÉORÈME. ^

Dans toute hyperbole l’aire du parallélogremme construit sur deux diamètres

conjugués quelconques est con^nte et égale é l’aire du rectangle des axes,