MÉTHODE GÉNÉRALE

POUB LA D18CUSS10K ET LA CONSTKtlCTlOB DES LIEUX GÉOMÉTRIQUES DES ÉQUATIOHS DU 2* DEGRÉ.

lOS. Maintenant nous pouvons , en résumant toute la discusr sion précédente , exposer la méthode qu’on devra suivre pour la discussion et la construction du lieu géométrique d’une équàtion donnée du deuxième degré , numérique ou littérale ,

Ay^ -|- Bxy -j- Dy -j- Ea: F — 0.

On commencera par reconnaître à quel genre de courbe ce lieu géométrique appartient , en examinant si B* — 4AC < 0 , ou > 0, ou = 0.

gî 4A.C < 0. Le lien géométrique est une ellipse ou une des espèces du genre 5 cercle , point ou ellipse imaginaire.

Pour lever toute Incertitude , on résoudra l’équation par rapport à y ^ ce qui donnera une valeur de la forme

et l’on construira le diamètre indéfiniment prolongé^'"

y = ax-\-h. . . ,

Afin de déterminer les points d’intersection de ce^diamètre par la courlie , on égalera & zéro la quantité sous le radical , et l’on résoudra cette équation , ce qui donnera deux valeurs x = js' , X rxzaf ^ qU’on portera sur l’axe (des abscisses à partir de l’origine ; par les extrémités de ces abscisses on mènera des parallèleii à l’axe des ordonnées , et ces parallèles détermineront , par leur rencontre avec le diamètre , les deux points demandés.

La partie du diamètre indéfini comprise entre ces points sera l’un des diamètres de la courbe ; par le milieu de la distance comprise entre 'les pieds des ordonnées parallèles on mènera une troisième ordonnée parallèle , qui coupera le diamètre au centre de l’ellipse » et sur laquelle on portera , à partir de ce point , au dessus et au dessous du diamètre une longueur égale

à JL I et l’on aura ainsi le second diamètre conju-

2A ^ ni'5 * .

gûéaupremier. ‘ ‘ v r , . n

Cûànaissant lé centre et un système de diamètres conjtigués, on construira la courbe par un dés moyens ipdiqués (78, 79). •

On pourra déterminer les axes et les sommets de la éourbe d’après la remarque du n* 78. ' .

Si a!* = a?*, la courJ>e représente un point, facile à déterminer,, sur le diamètre. ’ r

Si les racines a?', âr’, sont imaginaires , ce qu’on réconnatcra à- la Vue du trinôme sous le radieal , la courbe est imaginaire. ' •

On pourra, si l’on veut, opérer d’une manière analogue .elt résolvant par rapport à x.

, 1(MÎ. 2» B* — 4AG > 0. Le lieu géométrique est une hyper-^ bole , ou deux droites convergentes. ' .i.-j

Après avoir résolu l’équation par rapport à y , et construit le diamètre y=ox -f- é, comme il a été dit précédemment (105) i on égalera de méflie à zéro la quantité sous le radical , et si l’tm ébtient deux .valeurs , réelles et inégales x = x' , x =; x» , on les portera sur Taxe des abscisses à partir de l’origine ; on prendra le mileu de leur distance , et l’on mènera les trois ordonnées parallèles , dont celle du milieu passera par le centre de la courbe et indiquera la direction du diamètre conjugué non transverse.

Il suffira alors de connaître un point de la coo'rbe pour déterminer la longueur de ce diamètre; pour cela on fera x = 0 ou y = 0 dans l’équation de la courbe , ou dans l’expression^ générale de l’ordonnée , ce qui déterminera généralement deux points. Après avoir déterminé la longueur du diamètré non transverse ( 81 ) , on construira la courbe par ijn <1®* moyens iudiqués précédemment. On pourra encore déterminer directement la longueur du diamètre non-transverse en portant sur l’ordonnée du centre, à partir de ce point , des longueurs égales

, considéré comme réel’ (81) ; connatesSut un

système de' diamètre conjugué de grandeur* et de directlon,uft construira facilement la courbe (81). •*- < .

Si les racines x',.'*^, sont égales, le lieu géométrique esldeux^ lignes droites qui se. coupent au centre, et dont on déterminera facilement la direction d’après leurs équations , oh.bien encore

en faisant æ = 0 , ou jr = 0 , dans l’équalion proposée ou dans la valeur générale de l’ordonnée. ,

Si les racines V , a;" , sont imaginaires , le premier dia- ‘mètre construit indiquera la direction du diamètre non transverse de l’hyperbole. Ensuite , portant sur l’axe des a: , à

fl I

partir de l’origine , x = mènera parallèlement à l’axe

des y l’ordonnée correspondante , qui coupera le diamètre au centre de la courbe, et sur laquelle, à partir de ce point, on pôrtera au dessus et au dessous du diamètre une longueur égale

à —\y g — ^ , ét l’on aura ainsi le diamètre tranverse con-

jugué. >

Le reste de la construction s’achèvera comme ci-dessus.

On déterminera , si l’on veut , l’axe transverse et les sommets de la courbe d’après la remarque du n“ 98.

Ou bien encoré , après avoir résolu l'équation par rapport à y y on cherchera les équations des asymptotes ^ ,

que l’on construira par les méthodes connues ; et il suffira de déterminer un point de la courbe de la manière indiquée cidessus, pour construire la courbe (98, 99).

Si A = 0 , on résoudra de même l’équation , alors du premier degré en y , et l’on effectuera la division jusqu’à ce qu’on obtienne un résultat de la forme > ; ^ >

Les équations des asymptotes seront '

y = rx-]-ê, ,

Bx-}-D = 0, ' , ,

et l’on achèvera la construction comme ci-dessus.

Il faut remarquer qu’on peut avoir r = 0ou«r=0, ouà^ fois r = 0 , « = 0 ; mais quand f = 0 , le lieu géométrique est l’ensemble des deux droites

y = rx-\-t ,

Bo;-|-D = 0.

Dans chaque cas particulier on aura égard à la remarque qui termine le n“ 62. •

IW. B* — 4AC = 0 , et OB le recoonaltra facilement en examinant si les trois premiers termes de l’éqnation forment^ uncan% ': le lieu géométrique est nne parabole ou deux 'droites, ou une seûle'droite , ou enfin une courbe imaginaire.

' On résoüdra l'équation par rapport 4 y , si A n’est pas nul , et l’on construira le diamètre

' y ~ ax b.

On cherchera le point d’intersection du diamètre par la courbe éa égalant à zéro la quantité, sons le radical, du premier degré en X : et résolrant l’équation , ce qui donnera généralement une valeur « = qu’on portera sur l’axe des abscisses A partir ^

l’origine, par le point ainsi" déterminé on mènéra Fordonnée, qui sera la tangente à la parabole , coqjBguée an premier diamètre. ” '

Alors il suffira de connaître un point de la courbe pour déterminer le paramètre du diamètre (86) , et par suite pour'construire la courbe. ^ '

Si*la quantité sous le radical est indépendante de « , le lieit géométrique est l’ensemble de deux droites parallèles.

Si le radical hii-méme est nul , le lieu géométrique n’est autre chose que le diamètre^ et une Courbe imaginaire si le radical est imaginaire.'^ ' * ‘ ' ' '

Si A = 0, on résoudra la question par rapport ü x. ''

108. Lorsque B = 0, le lieu géométrique de l’équation se distingue encore facilement : v

A et C étant de même signe , ellipse ;

— de signe différent , ^hyperbole ;

— l’un ou l’autre nul , parabole ;

èt dans tous les cas, l’équation est rapportée à un système d’axes conjugués , c’est-à-dire parallèles à un système de diamètres' conjugués : ce qu'on démontre aisément en discutant la Valeur générale "de l’ordonnée

y=--îfi-li-U.^”^+^px+q-

On voit eu effet que, pour B = 0, le diamètre est parallèle à l’axe des x.

' Si F = 0, l'origine est un point du lieu géométrique.

Digilized by Googie

Si D = 0 , E = 0 , la courte est rapportée à son centre j et si en même temps B = 0 , les axes sont les diamètres conjugués.

109. Enfin , on peut encore construire le lieu géométrique en réduisant l’équation de la courbe à sa forme la plus simple, à l’aide des formules de transformation. Mais les formules générales étant trop compliquées , nous supposerons que les axes primitifs étaient rectangulaires, et que les axes nouveaux , aussi rectangulaires , sont les axes principaux de la courbe, l’origine de ces nouveaux axes étant différente de l’origine primitive.

Si le lieu géométrique est une ellipse ou une hyperbole , les formules (73)