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détermineront les coordonnées de l’origine nouvelle , centre de la courbe.
Pour déterminer lii direction du nouvel axe des abscisses par rapport à l’ancien , « étant l’angle que œs axes font entre eux , on a la relation (68) . . > ' ’
d’où l’on tire , à l’aide des formules trigonométriques connues,
cos 2a = — ^ = ^ ^
Kl + tang^ 2« P^B^ — (A — C/ ’
ffin 2« = COS 2« tang 2a = —
Les coefficients M, N, de l’équation (T) , '(fcm^ lesquels on substitue 6 =:100®, a' — a = 100®, deviennent
M = A cos^ <A^— B sin « cos a -j- C sina a ,
N = A sin* a -j- B sin a cos a -j- C cos* a ; d'où l'«n lire sans difficulté
M c- N = k'B*-|-(A — C)^ > et par suite *.
, , M = ^(A + C) + iKB^4(A C)*, '
110. le lieu géométrique est une parabole, on ramènera l’équation à la forme - . V . Sa? = 0.
Ponr cela on cbangm’a d’abord la direction des axes en remplaçant , dans l’équation ,
X par « cos a — y sin « , y par a; sin « -f- j cos « ,
formules qui servent à passer d’un système d’axes rectangulaires à un autre système d’axes rectangulaires , et l’tm aura toujours la relation >
Or, comme, à cause de . — /iAC = 0,
(A — Cf se réduit à (A -j- C) ,
on a-
et
COS2a^^^, sm2a^^^,
stn a
cos « =
2l/C(A + Cy
et de là et
A-fC M — A-l-C
N = 0 , comme on le savait déjà.
L’équatiqj^ sera réduite alors à la forme
* My^-j-Ry'-j-Sa?"l-F=;Û ,' dans laquelle R = D cos a — £ sin « ,
, ' S = D sin « -|- E cost ;
et , substituant à sin « et cos a leurs valeurs ,
I /"l — cos 2a I /
sin
co s a
I y/l rf- cos 2a I / A
on trouvera
Riz
J)l^ A-EKc +
Ensuite on transportera les nouveaux axes parallèlement à eux-mêmes, en substituant à ar et à^, x + a, :r + i ; et, égalant a zéro le coefficient de y et le terme indépendant des variables , on aura 2MA-f-R = o, Mi^ -f- Ri 4. So -f F z= o ,
d’où
R* — ùMF ùMS
coordonnées du sommet de la parabole. Les coefficients de y* et de X restant les mêmes, Téquation sera réduite à la forme
•< ' Mj^-j-Sx=0.
Cette seconde m^éthode, moins rapide que la première, à cause des calculs auxquels la substitution donne lieu, a l’avantage de faire connaître directement le centre et i^s axes principaux de 1 ellipse et de 1 hyperbole , l’axe et le sommet de la parabole. On pourra, si l’on veut, les employer successivement, comme moven de vérification.
HO. Conclusion. Ici se termine la partie vériublemeiit essentielle de la discussion des lieux géométriques représentés par les équations du deuxième degré. Lorsque, en combinant entre eUes les équations du problème, lesquelles ne doivent êtie que la traduction en langage algébrique des conditions de l’é noncé , on sera parvenu à une équation du deuxième degré entre les coordonnées des points qu’il s’agit de déterminer il ^ra facile d’après ce qui précède, de construire cette équatiou finale, et les points demandés se trouveront sur une courbe d espece déterminée, si le problème est indéterminé , ou à l’in tersection de deux courbes déterminées si le problème est déterminé et ne doit avoir qu’un nombre limité de solutions
Nous croyons devoir rappeler au lecteur ce que nous avons déjù dit ailleurs , que le choix des axes coordonnés contribue beaucoup à la simplicité du résultat et à l’élégance des constructions. Ou devra donc faire en sorte de choisir nonr axes les lignes elles-mêmes du problème , à moins que quelque
circonstance particulière ne fasse prévoir qu’un système d’axes reclangulaires dans une cerlaine position donnée serait préférable. Mais ces cas sont extrêmement rares; et, bien que les for* mules rapportées à des coordonnées obliques soient réellement '■ moins simples, on retrouve , sous le rapport de la symétrie, les avantafjes qu’on aurait sous le rapport du calcul en faisant choix ^ d’un système d’axes reclrangulaires; et, ce quiest d’une importance plus qrande encore , on lit plus promptement dans le résultat les relations que le lieu géométrique, qu’il s’agit de construire, doit avoir avec les lignes du problème. Aussi n’avons-nous pas hésité à donner la préférence à ce système d’axes coordonnés , et à ne présenter les formules en coordonnées rectangulaires que comme cas particulier des formules générales en coordonnées obliques.
Au surplus , le lecteur trouvera dans la première partie des Problème» d application de l'algèbre à la géométrie an grand nombre d’exercices sur les formules en coordonnées rectangulaires appliquées à la ligne droite et à la circonférence.
Quant à celte courbe, nous ne la traiterons plus particulièrement, et nous ne la considérerons, comme il a été dit ci-dessus(69), que comme une variété de l’ellipse : ainsi toutes les propriétés de l’ellipse s’appliqueront nécessairement à la circonférence, et si quelques modilicaiions sont nécessaires , le calcul algébrique les fera ressortir.
Le lecteur trouvera dans l'exposé de la méthode générale une règle sûre pour discuter et construire le lieu géométrique d’une équation quelconque du deuxième degré ; toutefois nous ne croyons pas inutile de nous arrêter à la discussion de quelques lieux géométriques particuliers des équations du deuxième degré numériques ou littérales ; et , pour rendre cette discussion plus intéressante , nous résoudrons quelques problèmes numériques ou littéraux qui conduisent à des équations linales du deuxième degré. ' ^
