APPLICATION DE LA THÉORIE GÉNÉRALE

-i ^ A. DES PBOBLÉHBS HDHÉBIQUBS BT GBAPHIQUBS.

tu. Par «dnq points donnés par leurs coordonnées, ac’ = 0, «" = 0, x'

faire passer une ligne du 2* degré, déterminer l’espèce et construire la courba

L’ëqnation dé la ligne du deuxième degré qui doit passer par les points donnés sera de la forme

Ay2 Bxy -j- Cx* -j- Dy -|- Ea? ^ F = O:

Remplaçant dans cette équation xety par les coordonnées de chacun des points donnés, on obtiendra les cinq équations de condition

.. iO

d’on l’on tirera par une élimination facile B = |a, C=iA, D = -^8A, E==-|a; F = 2A,

et par conséquent l’équation de la courbe sera , toute rédaction faite, 3j^ 4“ "1" — 9y — 5x4-6= 0. (E)

On reconnaîtra d’abord que la condition B* — 4AC <0 est satisfaite : par conséquent la ligne demandée est du genre des ellipses.

Résolvant l’équation (E) par rapport à y, on obtiendra

y = jr— ± T K- 8x*4- 24x 4- 9 . ,

L’un des diamètres a pour équation

et l’autre est parallèle à l’axe des y.

Digtiizi by Googlê

0n construira sans difficulté le premier diamètre , qui coupe Taxe des « à une distance de l’origine égale à 4 - ^ et l’axe desy

à une distance de l’origine exprimée par 1 ^

Ensuite, égalant à zéro le bnnOme sous le radical , on t^ùvera ^ « 8ar* — 24* — 9c=:0 , - ‘ '

tfoù. : .i=?(l±|/^).

Ou prendra donc sur l’axe des *, à partir de l’origine, des lon- -gaeoKS égales à ' ’ ~ <

^ que Ion construira de plusieurs manières, soit en regardant . comme' une moyenne proportionnelle entre 1 et| , soit

en mettant \A sous la forme ^ , soit enfin en cherchant

larvaleur namériqde de i/i par l’extraction -de la racine carrée , etc. Par lœ extrémités de ces ab^sse's ainsi construites on mènera des parallèles à Taxe des y , qui détermineront la partie 4u diamètre interceptée par la courbe , autrement la longueur de ^ diamètre de l’ellipse ; par le milieu dè ce diamètre on mènera une parallèlë è Taxe des y, et ce sera la direction du dialnkre ' otmjtigué an premier. ^ •

Pour avoir sa longueur , on cherdiera'la vi^eùr maximnm de

la partie irrationnelle | (/ — 8*^ 24* -J- 9.

Or, en faisant i - i

on trouve sans dilficulté • ^ ,

«•=2-VT Tî.

101 — ' . ■ ' d'où l’on conclut que la plus grande valcar de Z est

A partir du 'centre on portera donc sur le second diamètre , au dessus et au dessous du premier, une longueur égale à

2 construira aisément soit en mettant J/s sous

la forme |/ 1 — 1 , soit en cherchant le côté du triangle équilatéral inscrit au cercle de rayon 1 , soit cnGn en extrayant la racine carrée , et l’on connaîtra par conséquent les deux diamètres conjugués en grandeur et en direction; et par suite l’ellipse sera facilement construite.

* 112. Décrire une ligne du 2* degré passant par trob pointa donné* ,

et tangente à deui droites données ,

Déterminer Tespèce et construire la courbe. îï '

L’équation de la ligne demandée sera de la forme -jX-

Ay2 4 Bary -I- j j)y ^ P ^ Q ^

les constantes A, B, C, D, E, F, devant être déterminées d'après les conditions du problème. ' ■ - .

La condition de passer par les trois points donnés fournit d'abord les trois équations ■

ùA — 2B C — 2D E -j— F 0 , ï'rif.'t A— D-fF = 0.r .

Pour exprimer que la ligne demandée est tangente à la droite (1) , on substituera dans l'équation générale la valeur de y tirée de l'équation (1), ce qui donnera une équation du deuxième degré eu Z, et l’on exprimera la relation que doivent avoir entre eux les coefiicienis pour que les racines de cette équation soient

égales, autrement dit,'' pour que le trinôme soit'^n^ carré par-> fait, ce qui fournit la' relation

Opérant d’une manière tout à fait semblable sur l'équation (2) , on obtiendra la relation ' ’ . ^

A'cause de F = 0, ces cinq équations de condition se réduisait aux quatre suivantes

AA — 2B “f" C — 2D '"Eziz 0 -, **

(2À + B» — D-E)*— 'û(A — D)(A+B + C)=0; d’où l’on tire sans difficulté 4 ' > . .

B=— SA, Ci=^6A; D = A, É = — 2A, F=0;

et .par suite , l’^uation de la ligne du ' deuxième degré demandée sera . < ' •

^rV.- .