Si la courbe à un «entre dont farcisse est
on a .
•deux foyers sont à une é^Ie distance du centre, expri— ,i|iéeparpg^— ' ... '
Or les carrés des demi-axM principaux sont dans ce
par conséquent, dans l’ellipse g •< 0 , la distance focale «sst égale à |/ > et, dans l’hyperbole g > 0 , \/' À} B*,
A et B étant les demi-axes.
On trouvera donc facilement les foyers'de l’ellipse et de l’hyperbole lorsqu’on connaîtra le centre et les axes principaux.
L excentricité , c’est-à-dire le rapport de la distance des foyers au grand axe ou' à l'axe transverse , sera donc
- 1; t) «vl r */( -I = 'r.ij'iüw
5 Kl+g-
. , Il est facile de conclure en iléme temps que le demi-paramètre n est autre chose que l’ordonnée du foyer, et que par conséquent le paramètre entier est la corde passant par le foyer perpendiculairement à I axe-. £n effet, si l’on faites a dans l’équaiiou de la courbe, on aura , à cause de l’équation (^6) ,
d’oùyr=:±;j». * ^
157. Extrayant la racine carrée de la quantité sous le radical (135), on trouvera
Si l’on substitue, dans cette valeur de a, la valeur de a trouvée précédemment , on obtiendra , toute réduction faite , en désignant généralement par p la longuéur du rayon vecteur correspondant à une abscisse quelconque x ,
,=±[,Vi+7±(-5±Ei^)]-
Si q est positif, comme la valeur de p, longueur absolue, doit être nécessairement positive en supposant x positif , on ne peut admettre que les deux valeurs » v .
(i’où' l’on tire p, — p. = 2
Et si q est pégatif, on a les deux seules valeurs admissibles
Jli
. joa ■mO
d’où
Ce qui. démontre que
Dans l'ellipse, la somme des rayons vecteurs menés des deux foyers à un point quelconque de la courbe est constante et égale au grand axe.
Et
Dans l’hyperbole, la différence des rayons vecteurs est constante et égale à l’ase principal transverse.
Dans le cas de la parabole 7=0 , la valeur de A donne
Si donc on mène à une distance de l’origine exprimée^par — -j / ^
vr
ui»e droite perpendiculaire à l'axe.de îa paille, la distance d un pMnt quelconque de la courbe au foyer sera épale à la distance de ce même point à la droite ainsi déterminé^
'• ..... THJÉORÈ^I^ ■ ?. . . ••
^dirtance du foyer au somuiet de la parabole Wt égalé au quart du para^
IM. Ijt distance du , foyer le plus rapproché du soohnel ,
origine des coordonnées, étant
la distance de ce méfoe foyer à l’autre sommet de la'courbe sera '
q q — ^Kl+qî
trou oa' = — - = ie carré du demi petit ate du du demi-axe nop transverse. . » ‘ .
On i^t donc aussi définir les foyers' de l’ellipse et de l’hyperbole eb disant que ce sont deux points de l’axe transverse principai^ls , que le produit de leurs distances aux sommets de la courbe est égal au carré de l’autre demi^axej ce qui fournit encore uamoyen facile de déterminerJes foyers par une troisième proportionnelle. <
1" Remarque. Comme exercice de calcul , le lecteur pourra appliquer cette méthode aux équations
.. : A2jî-f-B?a^==A2B^ . .V- ■
ellipse , rapportéeà son centre et à ses axes; " ' ' ' '
% . . AV-B*à^ = -A*BS ■ ./ '
Hyperbole, rapportée à son centre et à ses axes ; ■
parabole, rapportée à sou sommet et à son axe.
abysses des foyers seront exprimées plus simplement par les formules suivantes :
:c,pour l'èllipse;
^ a = ±. k'A*+B'" = e, pour Phyperbole I a =-, pour la parabole.’* '
Et les rayons vecteurs menés des foyers à un même point de la courbe ; "
ex
Ellipse , ” V
rayon vecteur du (bÿer positif ;
rayon vecteur du foyer négatif.
, Hyperbole, = — A^, .
rayon vecteur du foyer positif; " * •
rayon vecteur du foyer négatif.
On prendra les signes supérieurs si x est positif, et les signes inférieurs si x est négatif.
^ r- ■Nh / '
Parabole , p
rayon vecteur unique.
De là ou conclut directement
P. + ft^SA, ellipse;
ou L P, — p,= 2A, hyperbole. -j
On démontrera facilement que, pour un point quelconque extérieur à l’ellipse , D et D' étant les distances de ce point aux* foyers, on a .
si le point est sur la courbe, D-f-D’=2A; ”
s’il est intérieur, ~ D-f-D'<2A.
Pour l’hyperbole, si le point est extérieur, D — D'> 2 A;
• • si le point est sur la courbe, D — D’=“2A;
si le point est intérieur, D — D'<2.A.
rf V
Poür la parabole, éa appelant D la distance d’un point qaelconque ^ la droite perpendiculaire à Taxe*, à une distance égale à celle du foyer au sommet de 'la courbe, et D' la distance du même point au foyer, • ^
si le point est extérieur, r D'<D'; ' ^ .
Si le point est sur la courbe , D = D'; si le point est intérieur, '
2* Remarque. L’équation de l’ellipse rapportée à son grand axe, -à son sommet négatif, étant
la distance du foyer correspondant à ce sommet sera > •
, ^ A — |/F"'rF. •' ’
■Représentant cette distance par - on aura ,
d’où l’on tire B^ = A/> — -p^}
et par la sùbstitution de cette valeur dans l’équation de, l’elltpse, on obtiendra,-toute réductrdn faite,
Si, dans celte équation , on donne à' A des valeurs croissantes, P restant toujours le méme^ on aura une suite d’ellipses dont les gratads axes seront de plus en plus grands , mais dont le sommet et le foyer conserveront la même position et enfin , en suppo- •sant 2A = » , on retrouve l’équation de la parabole
y*3=2/Mf.
On peut donc dire que , . = . ,
La parabole est une ellipse dont le graild axe est infini, oa,cedui rerient'ao même, dont le centre est à une distance infinie du sommet.
Ce qu’on aurait pu prévoir d’après les coordonnées générales du centre dans les courbes du 2* degré, lesl^uelles coordonnées deviennent infinies pour la parabole.
139. La propriété des rayons vecteurs pour rellip$e et pour l’hyperbole permet de défîpir ces deux courbes d’une manière plus précise, ainsi qu’il suit :
L'ellipse est une li^e courbe, lieu géométrique de tous les points tels, que la somme de leurs distances, à deux points donnés est constante^
L’hyperbole est une ligne courbe, lieu géométrique de tous les points tels, que la dilTéreoce de leurs distances é deux points donnés est constante.
Connaissant la somme on la différence des rayons vecteurs, et la position des deux points , on calculera sans peine l’équa* tion de la courbe , ou bien on la construira pap points.
Quant à la parabole, on peut la détinir
Une ligne courbe, lieu géométrique de tous les points teb, que les distances de chacun d’eux li un point donné et à une droite donnée soient constamment égales.
Ce qui donne aium le moyen, soit de trouver l’équation de'la courbe , soit de lâ^onstruire par points , lorsqu’on connaît la position de la droite et du point donné.
Âu surplus , celte déiiuitiou de la parabole peut être comprise ' dans une définition générale pour les trois courbes, ainsi qu’on le verra bientôt. ' • ,
. " ■ Applications.
140. Etant donnés le centretitles axes de l’ellipse, trouver les foyers et con strulre la courbe.
AA',BB'(lig.42)jéiant les axes, de l’exirémité B du^petit axe, comme centre , et d’un rayon OA égal au demi grand axe, décrivez un arc de cercle, qui coupera le grand axe en deux points F et P ces points sont les foyers.
En effet , OF = OF' = Ka^-B^-
Connaissant les foyers, on obtiendra autant de points qu’on voudra de l’ellipse de la manière suivante.
Sur le grand axe .\A' prenez un point quelconque N; ensuite du point F, comme centre , et d!un rayon égal à AN, décrivez un , arc de cercle indéfini MIM' ; du point F' comme centre , et d’uu rtiyon égal à A'N, décrivez pareillement un arc de cercle indéfini, qui rencontrera le premier en deux points, généralement , Met M': ces deux points appartiennent à la courbe. ,
En effet, FM -f F'M = AN + A'N = 2A. ■
Digitiz^by
Seconde manière. On peut encore délernikier les foyers d’une autre aianièrc, ainsi qu’il suit: ‘
Sur le grand axe AA', comme diamètre, décrivez une demicirconférence , et par l’exlrémilé B du petit axe menez CB'C, parallèle à AA'; enfin, par les points C et C' abaissez sur AA' les perpendiculaires CF, C'F', qui détermineront les foyers.
141, Étant donnésies foyers et le grand axe de réllipse, construire la courbe par un mouvement continu , 1* sur le terrain, 2° sur le papier.
1® Aux foyers F,, F' (fig. 42), plantez deux 'jalons ou piquets ; prenez une corde d’une longueur égale au grand axe, et après en avoir assujetti fortement les bouts aux deux piquets, à l’aide d un troisième piquet mobile le long de celte corde, ^toujours tendue aussi parallèlement que possible au terrain , décrivez la courbe.
2® Sur le papner , on pourra employer deux épingles pour remplacer les piquets des foyers, et un crayon ou une plume pour remplacer le troisième piquet mobile.
