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Le problème aura donc généralement deux solutions ou une
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seule , et pourra même être impossible, selon là position de la droite donnée et des foyers. •
1S2* Étant donnés les éléments de deux courbes du 2* degré ayant un même foyer, déterminer les points communs de ces courbes sans qu'il soit nécessaire de les construire. ' - .
Soient F le foyer commun (fig. 48), LL', LL*, les directrices correspondantes dans chacune des deux courbes , et M un des points d'intersection de ces courbes ; on aura , d’après la nature de chacune d’elles ,
MF
MQ
MF'
Le rapport ^ est donc déterminé , et tous les points tels
que M se trouvent sur deux droites passant par le point d’intersection L des directrices.
Donc si l'on connail les éléments des deux courbes du deuxième degré , on pourra obtenir les points communs de ces denx •courbes par l'intersection de ^chacune des droites précédentes avec l'une quelconque des courbes proposées. Le problème pourra avoir 4, 3, 2, 1 ou 0 solutions. ' . .
ISS. Trois courbes du 2* degré étant données eonfbcales deux k deux, trouver, s'il y a Ben, les points communs b ces trois courbes sans les décrire. .
Ce problème n’est qu’une application du problème qui précède ; on en trouvera facilement la solution par une construction parfaitement semblable à la précédente.
Il est facile de voir que les trois courbes ne peuvent avoir plus de quatre points communs.
154. Il nous reste à démontrer encore une autre propriété remartiuable de la directrice, et qui consiste en ce que,
THÉORÈME
Si d'un point quelconque O de la direetrice LL’ d’une courbe du 2* degré on mène une sécante ONM et la droite du foyer OF (6g. iS), cette droite partage en deux parties égales l'angle NFM on l’angle NFS, formé par l'un des rayons vecteurs FN et le prolongement FS de l’autre rayon vecteur FM.
En effet si l’on mène à la directrice les perpendiculaires NQ, MP , d’après la propriété de la directrice et du foyer, on aura la relation
, W NQ MF~MPî
et, à cause des parallèles NQ, MP,
' nf. on '
