MF'“OM
Le rapport des distances du point O aux extrémités de la base NM étant égal au rapport des cétés de l’angle , il s’ensuit que OF divise l’angle du sommet ou son supplément en deux parties égales.
Connaissant trois points de la courbe et le foyer , on pourra donc déterminer la directrice correspondante, et par conséquent la courbe sera déterminée. ,
Applications.
llSâ. Étant donnés le centre et les axes de l'd6pse, connruire la directrice de* diaque foyer.
Déterminez d’abord les foyers F, F' (6g. 50) ; au point F, élevez la perpendiculmre FM ; du point O, centre de la courbe, et d’un rayon égal à OA , demi grand axe , décrivez l’arc de cercle AM; joignez OM, et menez, perpendiculairement à OM, ML, qui rencontre le grand axe an point L : la perpendiculaire LD sera la directrice du foyer F , et à une distance OL' z= OL; élevant la perpendiculaire L'D', on aura la directrice du foyer F'. <
Il est évident qu’il suffirait de connaître la distance des foyers et le grand axe. *‘-
156. Étaol donnés te centre et les axes de l’byperbole, on seulement les foyers
et l'axe transversc, trobver la directrice. ''
Dans le premier cas, déterminez d’abord les foyers F, P
(Gg. 51); sur OF décrivez une demi-circonférence ; au point O élevez la perpendiculaire OH; prenez OH = OA, et du point II menez HD parallèle à OÂ; enGn par le point d’intersection D abaissez la perpendiculaire DL, qui sera la directrice du foyer F.
L'D', perpendiculaire à OÂ, à une distance OL' = OL, sera la directrice du foyer F'.
1H7. Quel est le lieu géométrique des centres de tout les cercles tangents à la fois à deux cercles donnés ?
Les cercles peuvent être tangents extérieurement à la fois aux deux cercles donnés , ou tangents extérieurement à l’un et intérienrement à l’autre ; ou, enlin, tangents à la fois intérieurement.
Dans le premier cas M étant un des centres demandés (Gg. 52} , O, Ô', Jes centres des cercles donnés ; r, r*, les rayons donnés , et P le rayon inconnu , on aura , d’après k théorie du contact des cercles , *
OM = /.-l-r,
0'M=p-|-r'; d’où • OM — O’M = r — r*.
La différence des distances du point M aux points O et O' étant constante et égale à la différence des rayons , le lien géométrique demandé est une hyperbole dont les foyers sont O , et 0', et l’axe transverse r — r' , différence des rayons donnés.
Dans le second cas, on aura (Gg. 58) ,
OM = p-fr,
O'M — P — r* ; d’où OM — 0'M= r-f- r*.
Le lien géométrique est encore une hyperbole dont les centres des cercles donnés sont les foyers et l’axe transverse égal à la somme des rayons donnés.
Troisième cas. EnGn on aura pour le troisième cas (Gg. 54) , OM — O'M = r — ri,
même hyperbole que dans le premier cas.
Connaissant les foyers et l’axe transverse , on construira facilement les directrices d’après le problème du n* 156. Nous
engageons le lecteur à faire l’épure de ce problème ainsi que des suivants. ' . '
itS8. Décrire un cercle tangent à trois cercles donnés.
Soient O,, O., O,; r,, r. , r,, les centres et les rayons des cercles donnes.
Le centre du cerde qui les touche tous les trois sera à l’intersection de deux hypcrtioles , ayant pour foyers O, , O, et O, , Oj , ou 0„ O. et O., O, ; par conséquent dans les deux cas ces courbes ont un foyer commun. On cherchera donc leurs points d’intersection (153) , qui seront les centres des cercles demandés.
139. Quel est le lieu géométrique des centres de tous les cercles tangents & U fois à une droite donnée et à un cerde donné?
Premier cas. Si les cercles touchent lyttérienrement le cercle donné, M (lig. 53) étant le centre d’un de ces cercles, et CD une droite parallèle à la droite donnée ÂB, à une distance PH = r, rayon du cercle donné, ou devra avoir
OM = MH,
et par conséquent le point M est sur une parabole dont O est le foyer et la directrice est CD.
Deuxième cas. Si les cercles sont tangents intérieurement, le résultat est le même ; seulement la directrice est une parallèle , symétrique à la précédente par rapport à la droite donnée AB (lig- 5G;.
160. Décrire un cerde tangent à deux cerdes donnés et 5 une droite donnée.
Le centre du cercle devra se trouver sur deùx courbes du deuxième degré , parabole et hyperbole , ayant un même foyer.
On cherchera les iniei’seclions de ces deux courbes (156).
161. Décrire un cercle tangent 5 deux droites données et à uq cercie donné.
Ou ramènera facilement la sululiuu de ce problème à l’inter-
DiO'' . (jt
section de deux paraboles déterminées d’espèce , on plus simplement à l’intersection d’une droite déterminée et d’une parabole.
16S. On résoudra facilement les problèmes suivants , dont nous ne ferons qu’indiquer les solutions.
Quel est le Heu géométrique des centres de tous les cérélés Ungéfits à un œrâe donné et passant par un point donné ?
Hyperbole , dont les foyers sont le centre du cercle donné et le point donné, et dont l’axe transverse est égal au rayon donné.
Déerire un cercle passant par deux points donnés et tangent à un cercle donné.
Les centres des cercles demandés sont donnés par ritttefSectioB d’une hyperbole et d’une droite.
Décrire un cercle tangent & deux cerdes donnés et passant par nn point donné. Intersection de deux hyperboles confocales.
' Décrire nn cercle passant par un point dotmé et tangent à la Tob i une droite ' et à un cercle donnés.
Intersection d’une parabole et d’une hyperbole confocales.
Nous laissons de même au lectetir le soin de chercher par la même méthode la solution des problèmes suivants.
Quel est le lieu géométrique des centres de tous les cercles tangents à une droite donnée et passant par un point donné >
Une parabole.
• PROBIÆME.
Décrire nn cercle passant i* par deux points donnés et tangent k une droite donnée; 3* par un point donné et tangent à deux droites données.
Intersection de paraboles déterminées, ou do paraboles et de droi^ faciles à construire. i
PBOBLËME.
163. Étant donnés un foy» d’une courbe du S* degré et trois points de la eonrfae, détenniner ta direction et la grandeur du grand axe, et par suite le second loyer (fig. 57). ,
F et Â, B, G (iig. 57), étant le foyer et les points donnés , soit IL la directrice inconnue. Si des points A , B, C , on abaisse les perpendiculaires AH , BK. , GM ; qu’on mène AF, BF , GF ; enfin qu’on joigne les points donnés par les droites BA , CB , qui rencontrent la directrice aux points I et L ;
D’après la propriété de la directrice (147) , dn aura , en dési-
gnant par — le rapport constant,
AF BF CF m AH~ BK“ CM — n ’
d’on l’on tire
